高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦示范教案 新人教B版必修.doc

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1、3.1.1两角和与差的余弦示范教案教学分析　　　　　本节是结合第一章，以圆上点的运动作引子，从中提出问题，引入本节的研究课题．在教学中要结合教科书中提供的问题背景，充分展示公式推导的思维过程．在正式推导之前，可组织学生谈谈自己对推导公式的想法，讨论、研究和分析可能出现的思路，使学生更好地经历和参与数学发现活动，体验数学的发展与创造过程．同时，引导学生复习两个向量数量积的定义及其坐标运算，复习单位向量的三角表示，并尝试自己推导两角和的余弦公式．在公式推出之后，还可以引导学生对推导过程进行反思，欣赏用向量方法推导公式的美妙，归纳、总结、

2、发现公式的结构特点以便掌握和灵活运用．在公式应用的教学中，要引导学生充分注意变形中角的变化，灵活运用“角的代换”的方法，体会化归思想在三角恒等变换中的应用．利用向量知识探索两角差的余弦公式时要注意推导的层次性：①在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用；②结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备；③探索过程不应追求一步到位，可以先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其线索进行探索，然后再反思，予以完善；④补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式．本节是数学公式的教学，教师要遵循公式教学的规

3、律，应注意以下几方面：①要使学生了解公式的由来；②使学生认识公式的结构特征加以记忆；③使学生掌握公式的推导和证明；④通过例子使学生熟悉公式的应用，灵活运用公式进行解答有关问题．三维目标　　　　　1．通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质．2．通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，提高学生分析问题、解

4、决问题的能力．3．通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．重点难点　　　　　教学重点：两角和与差的余弦公式．教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　思路1.(直接导入)如果知道了α，β的三角函数，如何计算α＋β，α－β的三角函数呢？下面我们从向量的角度来探究这一问题，接着导入新课．思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°＝，cos30°＝，由此我们能否得到cos15°＝cos(45°－30°)＝？这里是不是等于cos45°－

5、cos30°呢？教师可让学生验证，经过验证可知，我们的猜想是错误的．那么究竟是什么关系呢？cos(α－β)等于什么呢？这时学生急于知道答案，由此展开新课．推进新课　　　　　教师引导学生回顾两个向量数量积的定义及其坐标运算，复习单位向量的三角表示：＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ)并进一步讲解．我们知道cos(x－)可以看作是向量(cosx，sinx)与向量(1,1)的夹角的余弦值，那么cos(α－β)能否也看成是两个向量夹角的余弦值呢？把cos(α－β)看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究．如图1，在直角

6、坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β≤π的情况．图1设向量a＝＝(cosα，sinα)，b＝＝(cosβ，sinβ)，则a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos(α－β)＝cos(α－β)．另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.这就是两角差的余弦公式．教师引导学生探究“用－β代

11、替β”的换元方法就可以得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)，即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，这就是两角和的余弦公式．这两个公式分别记为Cα－β，Cα＋β.思路1例1求cos105°及cos15°的值．解：cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝·－·＝；cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝·＋·＝.变式训练1．不查表求sin75°，sin15°的

12、值．解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.sin15°＝＝＝＝.2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解：原式＝cos