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《高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦课堂导学案新人教b版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.1两角和与差的余弦课堂导学三点剖析一、两角和与差的余弦公式的推导和公式的运用【例1】已知cosα=,cosβ=且α,β∈(0,),求cos(α-β).思路分析:联系公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,已知α,β的余弦值,利用同角三角函数的基本关系式求出其正弦,用α,β单角的三角函数表示α与β两角差的余弦函数.解：由cosα=,cosβ=,且α,β∈(0,),得sinα=,sinβ=,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+.各个击破类题演练1求值:cos(225°-30°).解:cos(225°-
2、30°)=cos225°cos30°+sin225°sin30°=.变式提升1已知α,β都是锐角,sinα=,sin(α-β)=,求cosβ的值.解:因为α是锐角,sinα=,所以cosα=.因为α,β都是锐角,sin(α-β)=>0,所以cos(α-β)=.所以cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=+×=.二、公式的逆用熟练地逆用公式化简是三角变换中一类重要题型.解这类问题的方法是凑公式的形式,其中要熟练地掌握运用诱导公式.【例2】求值:sin(+3x)cos(-3x)+cos(+3x)cos(
3、+3x).思路分析:观察出题中出现的四个角的关系,从而运用诱导公式转化成只含有两个角的三角函数的关系是解决此题的关键,再逆用两角差的余弦公式.解：原式=sin(3x+)sin(+3x)+cos(+3x)cos(3x+)=cos［(+3x)-(+3x)］=cos(-)=coscos+sin·sin=.类题演练2化简cos(α+β)sin(-α)+sinαcos［-(α+β)］.解：原式=cosα·cos(α+β)+sinα·sin(α+β)=cos［α-(a+β)］=cos(-β)=cosβ.变式提升2已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=
4、,求cos(α-β)的值.解：将cosα-cosβ=和sinα-sinβ=的两边，分别平方并整理，得cos2α+cos2β-2cosαcosβ=，sin2α+sin2β-2sinαsinβ=，上述两式相加，得2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=,即cos(α-β)=.三、公式的灵活运用【例3】设α∈R,若sinα-cosα=成立,试求实数m的取值范围.思路分析:要熟练掌握公式的形式和结构,再寻找等式两边有何特点,使等式两边的取值范围保持一致.解：∵sinα-cosα=2(sinα-cosα)=2(sin30°sinα-cos30°cos
5、α)=-2(cos30°cosα-sin30°sinα)=-2cos(α+30°),又∵α∈R,∴-2≤-2cos(α+30°)≤2,即-2≤≤2.解得-1≤m≤.∴m的取值范围是-1≤m≤.类题演练3计算:cos15°-sin15°.解法一:原式=cos(45°-30°)-cos(45°+30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°-cos45°cos30°+sin45°sin30°=2sin45°·sin30°=2××=.解法二:原式=(cos15°-sin15°)=(cos45°cos15°-sin45°sin15°)=co
6、s(45°+15°)=cos60°=.变式提升3在△ABC中,sinA=,cosB=,求cosC的值.解:∵cosB=>0,∴B<90°.∴sinB=.又sinA=,∴cosA=.(当cosA=-时,∠A为钝角,而sinB>sinA=sin(π-A),∴B>π-A,即A+B>π,矛盾)∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=.
