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《高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式课堂导学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.1两角差的余弦公式课堂导学三点剖析1.两角差的余弦公式【例1】已知sinα=,cosβ=,求cos(α-β)的值.思路分析：根据两角差的余弦公式知,还须求cosα、sinβ.由条件可知,只要对α、β所处的象限进行讨论即可.解：∵sinα=＞0,∴α为第一、二象限角.当α为第一象限角时,cosα=;当α为第二象限角时,cosα=-.∵cosβ=＞0,∴β为第一、四象限角.当β为第一象限角时,sinβ=;当β为第四象限角时,sinβ=-.∵cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ,∴当
2、α、β均为第一角限角时,cos(α-β)=×+×=;当α为第一象限角,β为第四象限角时,cos(α-β)＝×+×(-)=;当α为第二象限角,β为第一象限角时,cos(α-β)=(-)×+×=-;当α为第二象限角,β为第四象限角时,cos(α-β)＝(-)×+×(-)=-.温馨提示(1)解题时,由结论出发分析题目作了哪些条件准备,还需再求什么,明确理解题的目标.(2)已知条件中给出某个角的三角函数值,但并未指出角α所在的象限时,一般要进行分类讨论.2．灵活应用两角差的余弦公式【例2】已知cos(α-)=
3、-,sin(-β)=,且α∈(,π),β∈(0,π2),求cos的值.思路分析：本题是给值求值的问题,若不考虑条件,盲目地看cos无法求.为此寻求已知条件中角α-、-β与欲求式中角的关系,不难发现=(α-)-(-β),这样将cos的值转化为cos［(α-)-(-β)］的值,可利用两角差的余弦公式求得.解：∵＜α＜π,0＜β＜,∴＜＜,0＜＜,＜α+β＜.∴＜α-＜π,-＜-β＜,＜α+＜.又cos(α-)=-,sin(-β)=，∴sin(α-)=,cos(-β)=.∴cosα+=cos［(α-)-(-
4、β)］=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)=(-)×+×=-.温馨提示像这类给值求值问题,关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角,这个过程我们称作“角的变换”，同学们应注意总结，积累经验.3.两角差的余弦公式的理解与变形是疑点【例3】以下命题：①cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ；②对任意角cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立；③cos(α-β)=cosα-cosβ；④cos70°cos10°
5、+sin70°sin10°=.其中正确命题为________________.思路分析：①式错误;②式正确.③式错误,④式正确,逆用两角差的余弦公式即可.答案:②④各个击破类题演练1已知sinα=,cosβ=-,α、β均为第二象限角,求cos(α-β).解：由sinα=,α为第二象限角,∴cosα=.又由cosβ=-,β为第二象限角,∴sinβ=∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-)×(-)+×=.变式提升1(1)已知tanθ=,θ∈(0,),求cos(-θ).解：∵tanθ=
6、=,且sin2θ+cos2θ=1,θ∈(0,),sinθ＞0,cosθ＞0,解得：sinθ=,cosθ=,∴cos(-θ)=cos·cosθ+sin·sinθ=.(2)若将条件θ∈(0,)去掉，结果如何.解:由tanθ=,θ在第一或第三象限.若θ在第一象限,同（1）,若θ在第三象限,则sinθ=-,cosθ=-.∴cos(-θ)=-×(-)+×(-)=类题演练2已知α、β为锐角,cosα=,sin(α+β)=，求cosβ.解：∵α为锐角且cosα=,∴sinα=.又β为锐角,∴α+β∈(0,π).又s
7、in(α+β)=＜sinα,∴α+β∈（,π）.∴cos(α+β)==∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=()×+.变式提升2已知:cos(α+β)=,cos(α-β)=-,＜α+β＜2π,＜α-β＜π,求cos2β.解：∵＜α+β＜2π,cos(α+β)=,∴sin(α+β)=-,又∵＜α-β＜π,cos(α-β)=-,∴sin(α-β)=.cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α
8、-β)=-1.类题演练3下列说法中错误的是（）A.存在这样的α和β使cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβB.不存在无穷多个α和β使得cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβC.对于任意的α和β,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβD.不存在α和β,使得cos(α-β)≠cosαcosβ+sinαsinβ解析：B不正确,当α=kπ或β=kπ时(k∈Z)B中等式成立.答案：B温馨提示公式中等号两侧符号相反一定要
