高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式学案.docx

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1、§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1　两角差的余弦公式学习目标　1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．知识点一　两角差的余弦公式的探究思考1　如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举出两例加以说明．答案　不正确．例如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝，而cosα－cosβ＝cos－cos＝－，故cos(α－β)≠cosα－cosβ；再如：当

2、α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝，而cosα－cosβ＝cos－cos＝，故cos(α－β)≠cosα－cosβ.思考2　计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝________；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝________，即_

3、_____________________________________________________．答案　①1　②　③0　④cos(α－β)　cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ知识点二　两角差的余弦公式思考1　单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？答案　A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)．与的夹角是α－β.思考2　请根据上述条件推导两角差的余弦公式．答案　①·＝

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7、cos(α－β)＝cos(α－β)，②·＝cosαcosβ＋sinαsinβ.∴cos(α

8、－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.梳理　C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cosβ.(　√　)提示　如α＝，β＝，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cosα－cosβ＝cos－cos＝，满足cos(α－β)＝cosα－cosβ.2．任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(　×　)提示　由两角差的余

9、弦公式可知不正确．3．任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(　√　)类型一　利用两角差的余弦公式化简求值例1　计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.考点　两角差的余弦公式题点　利用两角差的余弦公式求值解　(1)方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.方法二　原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.(2)原式＝cos(15°－105°

10、)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.反思与感悟　利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．跟踪训练1　化简cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为(　　)A.B.C．－D．－考点　两角差的余弦公式题点　利用两角差的余弦公式求值答案　B解析　cos15°cos45°＋cos75°sin45°＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝.类型二

11、　给值求值例2　(1)已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)等于(　　)A．－B．－C.D.考点　两角差的余弦公式题点　利用两角差的余弦公式求值答案　D解析　因为sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，所以(cosα－cosβ)2＝，(sinα－sinβ)2＝－.两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－.所以cos(α－β)＝.(2)已知α，β均为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求cosβ的值．考点　两角差的余弦公式题点　利用两角差的余弦公式求值解　因为α∈，sinα＝<，所以0<α<.又因为α－β∈

12、，cos(α－β)＝<，所以－<α－β<－.所以cosα＝＝＝，sin(α－β)＝－＝－＝－，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝c