高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.2两角和与差的正弦学案新人教b版必修4

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1、3.1.2　两角和与差的正弦基础知识基本能力1．能利用两角和与差的余弦公式和诱导公式推导出两角和与差的正弦公式．(难点)2．熟记两角和与差的正弦公式，尤其要弄清公式的结构特征及与两角和与差的余弦公式的异同．(重点、易混点)1．能灵活地应用两角和与差的正弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(重点、难点)2．掌握公式的正用和逆用．(难点)3．会用角的变换技巧来处理角的问题，如β＝(α＋β)－α，α＝＋等．(难点)1．两角和与差的正弦公式两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)两角差的正弦公式：

2、sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)【自主测试1－1】sin7°cos37°－cos7°sin37°的值是(　　)A．－B．C．D．－答案：A【自主测试1－2】sin105°＝________.答案：2．旋转变换公式已知点P(x，y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点P′(x′，y′)，则有【自主测试2－1】已知点M(－1,6)，与坐标原点保持距离不变，按顺时针旋转90°得到点M′的坐标为________．答案：(6,1)【自主测试2－2】已知向量＝(1,3)，绕原点按逆时针旋转60°得到向量的坐标

3、为________．答案：3．辅助角公式形如asinx＋bcosx(a，b不同时为0)的式子可以化为一个三角函数式．即asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.【自主测试3－1】函数y＝sinx＋cosx的最小正周期是(　　)A．B．πC．2πD．4π解析：∵y＝sinx＋cosx＝＝＝sin，∴最小正周期为T＝＝2π.答案：C【自主测试3－2】已知cosx－sinx＝－，则sin＝(　　)A．B．－C．D．－答案：D1．对两角和与差的正弦公式的正确理解剖析：(1)公式中的α，β均为任意角．(2)与两角和与差

4、的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ.(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如sin(2π－α)＝sin2πcosα－cos2πsinα＝0×cosα－1×sinα＝－sinα，当α或β中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(4)使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，还要掌握整体思想等，这是灵活使用公式的前提，特别是三角函数公式．如化简sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而是采用整体思想，进行如下变形

5、：sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα，这也体现了数学中的整体原则．(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相同．归纳总结两角和与差的正、余弦公式虽然形式、结构不同．但它们的本质是相同的：cos(α＋β)cos(α－β)sin(α＋β),sin(α－β)，所以在理解公式的基础上，只要记住中心公式cos(α＋β)的由来及其表

6、达方式就可掌握其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．2．解读辅助角公式剖析：(1)asinx＋bcosx(a，b不同时为0)中的角x必须为同一个角，否则不成立．(2)通过化单角(x)为复角(x＋θ)，达到减少函数名称，合二为一的目的．最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质．(3)化简的形式不唯一．由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的．如f(x)＝sinx＋cosx可以写成f(x)＝2sin还可以写成f(x)＝2cos.3．有关三角函数的

7、最值问题的求法剖析：一般地，三角函数的求最值问题可归结为以下几种情况：(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B的函数，利用sinα的值域求最值；(2)形如y＝的函数，可通过数形结合法，将y看成是两点连线的斜率，确定斜率的最值即可；(3)可化为形如y＝a(sinx－b)2＋c或y＝a(cosx－b)2＋c的函数，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；(4)求形如f(x)＝asinx＋bcosx(ab≠0)的函数的最值，通常化归为求函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值．题型一利用两角和与差的正弦公式求值【例题1】已知cosφ＝，在下列

8、情况下，分别求sin的值．(1)φ∈；(2)φ∈.分析：在已知cosφ＝和φ的取值范围的前提下，要求sin，只需把sinφ求出再应用公式即可得出．解：(1)∵cosφ＝，φ∈，∴sinφ＝＝，∴sin＝si