高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式导学案新人教a版必修4

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1、3．1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用．2．能熟练地把asinx＋bcosx化为Asin(ωx＋φ)的形式．和角、差角公式如下表：名称公式简记差的正弦sin(α－β)＝____________S(α－β)差的余弦cos(α－β)＝____________C(α－β)差的正切tan(α－β)＝____________T(α－β)和的正弦sin(α＋β)＝____________S(α＋β)和的余弦cos(α＋β)＝____________C(α＋β)和的正切tan(α＋β)＝____________T(α＋β

2、)逻辑联系(1)与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ，cos(α±β)≠cosα±cosβ，tan(α±β)≠tanα±tanβ.(2)和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如sin(2π－α)＝sin2πcosα－cos2πsinα＝0×cosα－1×sinα＝－sinα.当α或β中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(3)使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)

3、cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα.这也体现了数学中的整体原则．(4)注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．【做一做1－1】若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)＝(　　)A．－3B．－C．3D.【做一做1－2】sin75°的值为(　　)A.B.C.D.【做一做1－3】cos75°＝__________.答案：sinαcosβ－cosαsinβ　cosαcosβ＋sinαsinβ　　sinαcosβ＋cosαsinβ　cosαcosβ

4、－sinαsinβ　　【做一做1－1】D　tan(α－β)＝＝＝.【做一做1－2】D　sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝.【做一做1－3】　cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝×－×＝.化简asinα±bcosα(ab≠0)剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sinαcosβ±cosαsinβ的形式来化简．asinα±bcosα＝，∵2＋2＝1，∴可设cosθ＝，sinθ＝.则tanθ＝(θ又称为辅助角)．∴asinα±bcosα＝(sinαcosθ±cosαsinθ)＝sin(

5、α±θ)．特别是当＝±1、±、±时，θ是特殊角，此时θ取±、±、±.例如，3sinα－3cosα＝＝6＝6＝6sin.在公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)中，(1)sinφ＝，cosφ＝，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想．(2)asinα＋bcosα中的角必须为同角α，否则不成立．题型一给角求值问题【例1】求下列各式的值：(1)sin347°cos148°＋sin77°cos58°；(2)sin＋cos.分析：本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题(2)可构造两角和的正弦公式求解．反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用C(α±β)，S(α±β

6、)公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一．题型二给值(式)求值问题【例2】已知cosα＝，α∈，sinβ＝－，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．分析：求出sinα，cosβ的值，代入公式S(α±β)即可．反思：分别已知α，β的某一三角函数值，求sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)时，其步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α，β其余的三角函数值；(2)代入公式S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)计算即可．题型三利用角的变换求值【例3】已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos2α的值．分析：

7、解答本题关键是探寻α＋β，α－β与2α之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解．反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．题型四易错辨析