高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦和正切公式3课堂导学案新人教a版必修4

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1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式（3）课堂导学三点剖析1.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简，求值和证明【例1】求值：（tan10°-）·解法1：（tan10°-）=(tan10°-tan60°)=（）==解法2：（tan10°-)=(tan10°-tan60°)=tan(10°-60°)(1+tan10°tan60°)=-tan50°(1+tan10°·tan60°）=-tan50°（1+sin10°·）=温馨提示（1）在给角问题中，既有弦函数又有切函数的往往将切函数化为弦函数；（2）在给角求值问题中应首先观察角之间的关系，要根据减元的思想即尽量减少一般角的

2、个数.2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用【例2】化简：3sin（x+20°）-5sin（x+80°）+cos（x+20°）思路分析：注意到式子中涉及的两角x+80°与x+20°之差为60°，是特殊角，进行变换化简.解：原式=3sin（x+20°）-5sin［（x+20°）+60°］+cos（x+20°）=3sin（x+20°）-5sin（x+20°）cos60°-5cos（x+20°）sin60°+23cos（x+20°）=sin（x+20°）-cos（x+20°）=sin（x+20°）cos60°-cos（x+20°）sin60°=sin（x+20°-60°）=

3、sin（x-40°）温馨提示对公式的灵活运用，主要从整体结构入手.还要特别注意角的联系及三角函数的名称.3.注意角与角之间的联系，从整体入手解决问题【例3】化简：sin（α+β）cosα-［sin（2α+β）-sinβ］.思路分析：本题中出现α+β，α，2α+β，β四个角，为尽量减少角的个数，可以将2α+β，表示成（α+β）+α，将β表示成（α+β）-α，然后再利用两角差和的正余弦公式便可获解.解：sin（α+β）cosα-［sin（2α+β）-sinβ］=sin（α+β）cosα-［sin（α+β+α）-sin（α+β-α）］=sin（α+β）cosα-［sin（α+β）c

4、osα+cos（α+β）sinα-sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα］=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=sin（α+β-α）=sinβ.温馨提示本题仍是抓住题目中角之间的联系，利用角的变换将2α+β表示成（α+β）+α，将β表示成（α+β）-α.不要盲目的展成单角α与β的三角函数，那将会使题目变得相当复杂.各个击破类题演练1求值：.解：=变式提升1化简：sin50°(1+·tan10°).解：原式=sin50°(1+)=sin50°·=sin50°·=sin50°·=sin50°·==类题演练2tan3A-tan2A-tanA-tan3A·

5、tan2A·tanA=___________.解析：tan3A-tan2A-tanA-tan3A·tan2A·tanA=tanA（1+tan3A·tan2A）-tanA-tan3A·tan2A·tanA=tanA·tan2A·tan3A-tan3A·tan2A·tanA=0.答案：0变式提升2(2004重庆)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.-B.C.-D.解析：原式=sin（180°-17°）·sin（180°+43°）+sin（180°+73°）·sin（360-47°）=sin17°·（-sin43°）+（-sin73°）·（-sin

6、47°）=-sin17°·sin43°+cos17°·cos43°=cos（43°+17°）=cos60°=.答案：B类题演练3求证：-2cos（α+β）=.证明：左边======右边.∴原式得证.变式提升3已知3sinβ=sin（2α+β），求证：tan（α+β）=2tanα.证明：∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sin［（α+β）-α］=sin［（α+β）+α］，3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=2tanα.