资源描述：
《高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式互动课堂学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.两角和的余弦公式比较cos(α-β)与cos(α+β),并且注意到α+β与α-β之间的关系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(C(α+β))2.两角和与差的正弦公式sin(α-β)=cos(-α+β)=cos［(-α)+β］=cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,即sin(α-β)=sinαcosβ-
2、cosαsinβ.(S(α-β))在上式中,以-β代β可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(S(α+β))3.正确理解和差角的正弦公式(1)公式对于任意的角α、β都成立.(2)搞清sin(α±β)的意义.例如sin(α+β)是两角α与β的和的正弦,它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,如α=,β=时,sin(+)=sin=1,sin+sin=+=≠1.∴sin(+)≠sin+sin.只有在某些特殊情况下,sin(α+β)=sinα+sinβ,例如,当α=0,β=时,sin(0+)=sin=,sin0
3、+sin=0+=,∴sin(0+)=sin0+sin.在学习时一定要注意:不能把sin(α+β)按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20°cos50°-sin70°cos40°,要能观察出此式等于sin(20°-50°)=-sin30°=-.(4)灵活运用和(差)角公式.例如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin(α+β),cos(α+β)展开,而应就整个式子,直接运用公式sin［(α+β)-β］=sinα,这也是公式的逆用.4.两角和与差的正切公式的推导当cos(α+β)≠0时,将公式S(α+β),C(α+β)的两边分别相除,有ta
4、n(α+β)=.当cosα·cosβ≠0时,将上式的分子、分母分别除以cosα·cosβ,得tan(α+β)=(T(α+β)).由于tan(-β)==-tanβ.在T(α+β)中以-β代β,可得tan(α-β)=(T(α-β)).5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题(1)公式适用范围.因为y=tanx的定义域为x≠+kπ,k∈Z.所以T(α±β)只有在α≠+kπ,β≠+kπ,α±β≠+kπ时才成立,否则不成立,这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T(α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简tan(-β
5、),因为tan的值不存在,不能利用公式T(α-β),所以改用诱导公式.(2)注意公式的逆向运用=tan［(α+β)-β］=tanα,=tan(45°+α).(3)变形应用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),如tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β),tan(α+β)-tanα-tanβ=tanαtanβtan(α+β).活学巧用1.在△ABC中,若sinAsinB＜cosAcosB,则此三角形的外心位于它的()A.内部B.外部C.一边上D.不确定解析:cosAcosB-sinA
6、sinB＞0,即cos(A+B)＞0,∴-cosC＞0.∴cosC＜0.∴C为钝角.∴△ABC为钝角三角形.∴三角形的外心位于它的外部.答案:B2.化简下列各式:(1)cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α);(2)sin(x+)+2sin(x-)-cos(-x);(3).解析:(1)原式=cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α)=cos［(80°+3α)-(35°+3α)］=cos45°=.(2)原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-coscosx-sins
7、inx=sinx-cosx+cosx-sinx=0.(3)原式===tan(α-β).答案:(1);(2)0;(3)tan(α-β).3.已知cos(α+β)=-,cos2α=-,α、β均为钝角,求sin(α-β).解析:∵α、β∈(90°,180°),∴α+β,2α∈(180°,360°).∵cos(α+β)=-＜0,cos2α=-＜0.∴α+β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)
