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时间:2018-12-17
《高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式知识巧解学案新人教a版必修4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β),根据α+β与α-β之间的联系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用,同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中,因为角α、β是任意角,所以在C(α+β)中,角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导
2、C(α+β).图3-1-5如图3-1-5,在直角坐标系xOy内作单位圆O,以O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,作出角α、-β,使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4,再以OP2为始边,作角β,使它的终边交单位圆于点P3,这样就出现了α、β、α+β这样的角,设角α、-β的始边交单位圆于点P1,则P1(1,0).设P2(x,y),根据任意角的三角函数的定义,有sinα=y,cosα=x,即P2(cosα,sinα);同理,可得P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4,所以
3、P1P3
4、=
5、P2P4
6、.
7、P1
8、P3
9、2=
10、P2P4
11、2,即[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ),即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6,在平面直角坐标系xOy内作单位圆,以Ox为始边作角α、-β,它们与单位圆的交点分别为A、B.显然,=(cosα,sinα),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义,有·=(cosα,sinα)·(cos(-β),s
12、in(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得①在处理问题的过程中,把有待解决或难解决的问题,通过某种转化,归结为一类已经解决或比较容易解决的问题,最终求得原问题的解,这种思想方法叫做化归思想.②以任意角的三角函数的定义为载体,我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β
13、)=cos[-(α-β)]=cos[(-α)+β]=cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.在上面的公式中,以-β代β,即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.2.和差公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便;上面公式中的α、β均为任意角.误区警示公式对分配律不成立,即sin(α±β)≠sinα±sinβ,学习时一定要注意这一点.学法一得公式使用时不仅要会正用,还要
14、能够逆用,如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开,而应当整体考察,进行如下变形:sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin[(α+β)-β]=sinα,这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来,两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式,可以推导出两角和的正切公式:tan(α+β)=,当cosαcosβ≠0时,我们可以将上式的分子、分母同时除以cosαcosβ,即得用tanα和ta
15、nβ表示的公式:tan(α+β)=,在上面的公式中,以-β代β,可得两角差的正切公式:tan(α-β)=.2.公式成立的条件要能应用公式,首先要使公式本身有意义,即tanα、tanβ存在.并且1+tanαtanβ的值不为零,所以可得α、β需满足的条件:α≠kπ+,β≠kπ+,α+β≠kπ+或α-β≠kπ+,以上k∈Z.当tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时,可以改用诱导公式或其他方法解决.
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