高中数学第一章基本初等函数ii1.3三角函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角学案新人教b版必修4

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1、1.3.3　已知三角函数值求角基础知识基本能力1．了解arcsinx，arccosx，arctanx的意义．(难点、易混点)2．掌握已知三角函数值求角的方法．(重点)1．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)2．会用三角函数值表示给定区间内的角．(难点、易混点)1．已知正弦值，求角一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsiny.【自主测试1－1】若sinx＝，x∈，则x等于(　　)A．a

2、rcsinB．π－arcsinC．＋arcsinD．－arcsin答案：A【自主测试1－2】已知α是三角形的内角，且sinα＝，则α等于(　　)A．B．C．或D．或答案：D2．已知余弦值，求角在区间[0，π]上符合条件cosx＝y(－1≤y≤1)的角x，记为x＝arccos_y(－1≤y≤1,0≤x≤π)．【自主测试2－1】已知cosx＝－，π＜x＜2π，则角x等于(　　)A．B．C．D．答案：B【自主测试2－2】已知cos2x＝，则角x＝__________.答案：－arccos3．已知正切值，求

3、角一般地，如果tanx＝y(y∈R)，且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tanx＝y，符合上述条件的角x，记为x＝arctan_y，x∈.【自主测试3－1】满足sinx＝cosx的角x的集合是(　　)A．B．C．D．解析：∵sinx＝cosx，∴tanx＝1.当x∈时，x＝arctan1＝，根据正切函数的周期性，得x＝＋kπ，k∈Z.答案：B【自主测试3－2】arctan＝__________；arctan＝__________；arctan＝__________.答案：

4、　－　已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？答：不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定．1．化简arcsin(sinx)，arccos(cosx)，arctan(tanx)剖析：比如arcsin＝arcsin＝；arcsin＝arcsin＝；它们均满足arcsin(sinx)＝x.然而，我们绝不能依此归纳出arcsin(sinx)＝x恒成立，如arcsin＝arcsin＝arcsin＝.事实上，arcsinx只能直接表示区间内的角，因此，等式arcsin(sinx)＝

5、x成立的条件是x∈.同样可知，等式arccos(cosx)＝x成立的条件是x∈[0，π]；等式arctan(tanx)＝x成立的条件是x∈.通过剖析可知，只要弄清楚上述几个等式分别成立的条件，那么对于各类试题中经常出现的这类问题就能够正确求解．知识拓展已知三角函数值求角的问题中，常用的恒等式有：①基本性质：若x∈，则arcsin(sinx)＝x；若x∈[0，π]，则arccos(cosx)＝x；若x∈，则arctan(tanx)＝x.②运算性质：arcsin(－x)＝－arcsinx；arccos(

6、－x)＝π－arccosx；arctan(－x)＝－arctanx.2．已知三角函数值求角的基本步骤剖析：在一定范围内已知三角函数值，对应的角不一定只有一个，求该函数值对应的角可分为以下几步．第一步：确定角可能是第几象限的角；第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐角；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角；第三步：如果函数值为负数，则根据角可能是第几象限的角得出(0,2π)内对应的角；第四步：如果要求出(0,2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出结果．题型一

7、已知正弦值求角【例题1】求下列范围内适合sinx＝的x的集合．(1)x∈；(2)x∈[0,2π]；(3)x∈R.解：(1)由y＝sinx在上是增函数及反正弦函数的概念，知适合sinx＝的角x只有一个，即x＝.故所求的x的集合为.(2)当x∈[0,2π]时，由诱导公式sin(π－x)＝sinx＝及sin＝sin＝，可知x1＝，x2＝.故所求的x的集合为.(3)当x∈R时，由正弦函数的周期性可知，当x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx＝，故所求的x的集合是＝.反思对于已知正弦值求角

8、有如下规律：sinx＝a(

9、a

10、≤1)x∈x∈[0,2π]x＝arcsina0≤a≤1－1≤a＜0x1＝arcsina，x2＝π－arcsinax1＝π－arcsina，x2＝2π＋arcsina题型二已知余弦值求角【例题2】已知cosx＝－.(1)若x∈[0，π]，求x；(2)若x∈[0,2π]，求x.分析：借助余弦函数的图象及所给角的范围求解即可．解：(1)满足cosx＝的锐角为，∵cosx＝－＜0，x∈[0，π]，∴角x为钝角．又∵cos＝－cos＝－，∴x＝π