高中数学第一章基本初等函数II1.3三角函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角示范教案新人教B版必修.doc

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1、1.3.3已知三角函数值求角示范教案教学分析　　　　　在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．已知角x的一个三角函数值求角x时，实际上就是解最简单的三角方程．由

2、于三角函数不是从定义域R→值域[－1,1]上的一一映射，所以已知角x的一个三角函数值求角x时，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可以分为以下几个步骤：第一步，确定角x可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1；第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出[0,2π]内对应的角；第四步，如果要求出[0,2π]以外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写

3、出结果．如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．三维目标　　　　　1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示．2．会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[0,2π]范围内的角，并能用反正弦、反余弦、反正切符号表示角或角的集合．3．能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题．重点难点　　　　　教学重点：已知正弦、余弦、正切值求角．教学难点：对反正弦、反余弦、

4、反正切的概念及其符号的正确认识．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　思路1.(直接引入)我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．由此导入新课．思路2.(类比引入)前面我们学习函数时知道，给定一个函数值必有一个或多个自变量的值与之对应．那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx＝，你怎样求出适合这个式子的x的值呢？在学生探究中引入新课．推进新课　　　　　已知正弦值，求角．活动：教师引导学生先复习正弦函数的图象和性质，或用课件演示，引导学

5、生得出：在函数y＝sinx的非单调区间上，对于已知的一个正弦值，有多个角和它对应，如在[0,2π]上有两个角和的正弦值都为，在R上有无穷多个角的正弦值为.但是，在y＝sinx的单调区间上，只有一个角和已知正弦值对应，比如在单调区间[－，]上，只有的正弦值等于.也就是说，正弦函数在区间[0,2π]上不具有单调性．但在[－，]上单调递增．所以在区间[－，]上，满足条件sinx＝a(－1≤a≤1)的x有且只有一个，而在[0,2π]上满足条件sinx＝a(－1≤a≤1)的x一般有两个．一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，

6、那么在[－，]上有唯一的x值和它对应．记为x＝arcsiny(其中－1≤y≤1，－≤x≤)，即arcsiny(

7、y

8、≤1)表示[－，]上正弦等于y的那个角．这个角叫做y的反正弦．讨论结果：(1)有无穷多个；(2)表示为x＝arcsiny(其中－1≤y≤1，－≤x≤)．例1(1)已知sinx＝，且x∈[－，]，求x；(2)已知sinx＝，且x∈[0,2π]，求x的取值集合；(3)已知sinx＝，且x∈R，求x的取值集合．解：由sinx＝知x的正弦值是个正值，所以x是第一象限或第二象限的角，如图1，由sin＝，sin＝可知：图1(1)在[－，]上，x＝

9、；(2)在[0,2π]上，x＝或x＝；(3)在R上符合条件的角是所有与终边相同的角和所有与终边相同的角．因此x的取值集合为{x

10、x＝2kπ＋(k∈Z)}∪{x

11、x＝2kπ＋(k∈Z)}．点评：本例解法没涉及到反正弦概念，那么学习反正弦还有什么用呢？教师可就此点明，在本例(1)中，＝arcsin，＝π－arcsin.那么本例(2)中的答案也可写成{arcsin，π－arcsin}．进一步体会－≤arcsina≤(其中－1≤a≤1)．同时强调，如果求得的角是特殊角，则最好用特殊角的弧度表示，如果不是特殊角，则用反正弦表示，为书写方便，一般地把x作为自变

12、量，y是x的函数，记为y＝arcsinx.例如：如果sinx＝，x∈[－，]，则x＝arcsin＝；如果sinx＝－，x∈