高中数学第一章基本初等函数ii1.3三角函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角课堂探究学案新人教b版必修4

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1、1.3.3已知三角函数值求角课堂探究探究一已知正弦值求角已知正弦值求角，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用，当角的范围不在内时，要通过诱导公式构造一个角，使其在内，并能求其正弦值．【例1】求下列范围内适合sinx＝的x的集合．(1)x∈；(2)x∈[0,2π]；(3)x∈R．分析：借助正弦函数的图象及所给角的范围求解．解：(1)由y＝sinx在上是增函数及反正弦函数的概念，知适合sinx＝的角x只有一个，即x＝．这时，适合sinx＝的x的集合为．(2)当x∈[0,2π]时，由诱导公式sin(π－x)＝sinx＝及sin＝sin＝

2、，可知x1＝，x2＝．这时，适合sinx＝的x的集合为．(3)当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx＝，则所求的x的集合是＝．技巧点拨给值求角，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．对于sinx＝a(x∈R)，－1≤a≤1，这个方程的解可表示成x＝2kπ＋arcsina或x＝2kπ＋π－arcsina(k∈Z)．从而方程的解集为{x

3、x＝kπ＋(－1)karcsina，k∈Z}．探究二已知余弦值求角根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一个，选择

4、闭区间[0，π]作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x，记作arccosa，即x＝arccosa，其中x∈[0，π]，且a＝cosx．【例2】已知cosx＝－，(1)若x∈[0，π]，求x；(2)若x∈[0,2π]，求x．分析：借助余弦函数的图象及所给角的范围求解即可．解：(1)适合cosx＝的锐角为，因为cosx＝－<0，x∈[0，π]，所以角x为钝角．又cos＝－cos＝－，所以x＝π－＝．(2)适合cosx＝的锐角为，因为cosx＝－<0，x∈[0,2π]，所以角x为第二象限的角或第三象限的角．又cos＝cos＝

5、－cos＝－．所以x＝π－＝或x＝π＋＝．故适合cosx＝－，x∈[0,2π]的角x为或．技巧点拨cosx＝a(－1≤a≤1)，当x∈[0，π]时，则x＝arccosa，当x∈R时，可先求得[0,2π]内的所有解，再利用周期性可求得{x

6、x＝2kπ±arccosa，k∈Z}．探究三已知正切值求角已知正切值求角与已知正(余)弦值求角的思路相同点是找角、表示角、确定角．不同点是：①已知正(余)弦值求角中的找角范围一般是在[0,2π]([－π，π])，而已知正切值求角中的找角范围一般是在；②在表示角中，已知正(余)弦值求角中加“2kπ，k∈Z”，而在已知正切值

7、求角中加“kπ，k∈Z”．【例3】已知tanx＝－．(1)当x∈时，求角x的值；(2)当x为三角形的一个内角时，求角x的值；(3)当x∈R时，求角x的值．分析：先求出满足tanα＝的锐角α，再由诱导公式转换得出．解：令tanα＝得锐角α＝arctan＝．(1)因为tanx＝－<0，x∈，所以x∈，所以x＝－α＝－．(2)tanx＝－<0，且x为三角形内角．所以x∈，所以x＝π－＝．(3)tanx＝－<0，x∈R．所以x在第二象限或第四象限，所以x＝－α＋2kπ＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝π－α＋2kπ＝π－＋2kπ(k∈Z)．所以x＝2kπ－或x＝2kπ

8、＋(k∈Z)．即x＝kπ－(k∈Z)．反思对于已知正切值求角有如下规律：tanx＝a(a∈R)x∈x∈[0,2π]x＝arctana0≤aa<0x1＝arctana，x2＝π＋arctanax1＝π＋arctana，x2＝2π＋arctana