高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计名师导航学案苏教版必修3

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1、2.3　总体特征数的估计名师导航三点剖析在初中我们知道，总体平均数(又称为总体期望值)描述了一个总体的平均水平，由于对很多总体来说，它的平均数不易求得，常用容易求得的样本平均数:对它进行估计，而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应的两个总体平均数的大小.一、平均数1．平均数定义若给定一组数据x1，x2，…，xn，则称(i=1，2，3，…，n)为这组数据x1，x2，…，xn的平均数(或均值).通常用样本平均数来估计总体平均数.当所给数据中没有重复数据时，我们一般用此公式来求这组数据的平均数.

2、这里(x1+x2+…+xn).平均数反映了一组数据的集中趋势，我们常用一组数据的平均数来衡量这组数据的水平.当一组数据中的重复数据过多时，若用上面公式求这组数据的平均数，其过程就会显得比较复杂和冗长，为了简化计算过程，我们引入下面这种计算平均数的方法:一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn.这一公式实质上就是公式的一个变形，它主要用于含有重复数据的数据组求平均数.除此之外，当所给数据在某一常数a的上下波动时，我们也可利用

3、公式:,其中(x1′+x2′+…+xn′)，x1′=x1-a,x2′=x2-a,x3′=x3-a，…，xn′=xn-a；常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数.例如:求数据70，71，72，73的平均数时，我们可以先求出0，1，2，3的平均数，然后将此平均数加上70即得该组数据的平均数.2．平均数的性质(1)若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则ax1，ax2，…，axn的平均数为a；(2)若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的

4、平均数为a+b；二、极差、方差与标准差在初中我们知道，极差、方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数.1．极差的定义一组数据的最大值和最小值的差叫极差.极差也可以对两组数据的集中程度进行对比，且比较简单.但两组数据的集中程度差异不大时，利用它就不易得出结论了.而且它只利用了数据中的最大值和最小值，对极值过于敏感.但由于只涉及到了两个数据，便于得到.所以极差在实际中也经常用到.例如:数据:25,41,37,22,14,19,39,21,42,40中的最大值为42，最小值为14，它的极差为

5、42-14=28．2．方差的定义在一组数据x1,x2,…,xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，记作s2,即若给定一组数据x1，x2，…，xn，则s2=.为了更好地比较两组数据的集中程度,我们可以利用这两组数据的方差对两组数据进行比较.方差较大的数据波动较大；方差较小的数据波动较小.当所给的数据有单位时，所求得的平均数与原数据的单位相同，不要漏写单位.方差的单位为所给数据单位的平方.3．方差的性质(1)若给定一组数据x1，x2，…，xn，方差为s2，则ax1，ax

6、2，…，axn的方差为a2s2；(2)若给定一组数据x1，x2，…，xn，方差为s2，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2,特别地，当a=1时，则有x1+b，x2+b，…，xn+b的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；(3)方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度.对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；(4)方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感.4．标准差刻画数据离散程度的度量，其

7、理想形式应满足以下三条原则:(1)应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；(2)仅用一个数值来刻画数据的离散程度；(3)对于不同的数据，当离散程度大时，该数值也大.我们上面提到的极差显然不满足第一条原则，因为它只利用了数据中最大和最小的两个值.方差虽然满足上面的三条原则，然而它有局限性:方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应与原始观测数据具有相同的单位.解决这一局限性的方法就是取方差的算术平方根.方差的算术平方根称作标准差，记作s，即标准差的单位与原始测量数据单位相

8、同，可以减弱极值的影响.问题探究问题1:甲、乙两台机床同时生产直径为40㎜的零件.为了检验产品的质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行了测量，结果如下:甲/mm40.039．840.140.239．940.040.239．840.239．8乙/mm40.040.039．940.039．940.140.140.140.039．9能用几种方法比较这两台机床的性能？探究:经简单计算可以得出:甲、乙两台机床生产的这10件产品的直径的平均数都为40mm.所以，不能从平均数这一角度来比较这两台机床的