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《高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计互动课堂学案苏教版必修3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3总体特征数的估计互动课堂疏导引导1.平均数及其估计（1）平均数定义若给定一组数据x1,x2,…,xn,则称=xi(i=1,2,3,…,n)为这组数据x1,x2,…,xn的平均数(或均值).通常用样本平均数来估计总体平均数.当所给数据中没有重复数据时,我们一般用此公式来求这组数据的平均数.这里xi=(x1+x2+……xn).平均数反映了一组数据的集中趋势,我们常用一组数据的平均数来衡量这组数据的水平.当一组数据中的重复数据过多时,若用上面公式求这组数据的平均数,其过程就会显得比较复杂和冗长,为了简化计算过程,我们引入下面这种计算平均数
2、的方法:一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn.这一公式实质上就是公式的一个变形,它主要用于含有重复数据的数据组求平均数.除此之外,当所给数据在某一常数a的上下波动时,我们也可利用公式:=+a,其中=(x1′+x2′+…+xn′),x1′=x1-a,x2′=x2-a,x3′=x3-a,…,xn′=xn-a；常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数.例如:求数据70,71,72,73的平均数时,我们可以先求出0,1,2,3的平均数,然后将此平均数加上70即得该
3、组数据的平均数.（2）平均数的性质①若给定一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,则ax1,ax2,…,axn的平均数为a；②若给定一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a+b；(3）用样本平均数估计总体平均数从一个总体中随机抽取一个容量一定的包含大量数据的样本,利用样本平均数的计算公式求出样本平均数,由此得出的总体平均数就是所求样本平均数.在这里两次从总体中抽取容量相等的样本,分别求出样本平均数,两个样本平均数会不相同,所以用样本平均数估计总体平均数时,样本平均数只是总体平均数的近似值
4、.案例1下面是某一个工厂所有工作人员在某个月的工资,总经理6000元,技术工人甲900元,技术工作人员乙800元,杂工640元,服务员甲700元,服务员乙640元,会计820元.(1)计算所有工作人员的平均工资.(2)去掉总经理后,再计算平均工资.(3)在(1)和(2)中两种平均工资哪一种能代表一般工人的收入水平,为什么？【探究】计算平均工资是用工资总数除以领工资的人数即可.【解析】(1)所有工作人员平均工资为=(6000+900+800+640+700+640+820)=1500(元).(2)去掉总经理后平均工资为=(900+800+6
5、40+700+640+820)=750(元).(3)能代表一般工人的收入水平的是去掉总经理后的平均工资750元.因为除去总经理之外,工作人员的工资均在900元以下,因此不能以1500元来代表职工的平均工资水平.规律总结一般地,在一组数据中,平均数、众数、中位数能够反映该组数据的集中趋势和平均水平,但有时需要去掉极端值(极大值或极小值),这样计算平均数则更能反映平均水平,这就是有些比赛活动中往往会去掉一个最大值和一个最小值再去计算平均成绩的原因.2.方差与标准差设一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为,则称s2=(xi-)2为这个样本
6、的方差,其算术平方根s=为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差.疑难疏引（1）为了更好地比较两组数据的集中程度,我们可以利用这两组数据的方差对两组数据进行比较.方差较大的数据波动较大；方差较小的数据波动较小.当所给的数据有单位时,所求得的平均数与原数据的单位相同,不要漏写单位.方差的单位为所给数据单位的平方,方差的算术平方根称作标准差,它与原数据单位相同,因而能更好地刻画数据的离散程度.（2）方差的性质①若给定一组数据x1,x2,…,xn,方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2；②若给定一组数据x1,x2,…,xn
7、,方差为s2,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2,特别地,当a=1时,则有x1+b,x2+b,…,xn+b的方差为s2,这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数,其方差是不变的,即不影响这组数据的波动性；③方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度.对于不同的数据集,当离散程度越大时,方差越大；④方差的单位是原始测量数据单位的平方,对数据中的极值较为敏感.（3）我们可以通过计算样本方差和标准差对总体方差和标准差进行估计,也可以通过对两个总体的样本方差的大小差异情况,对两个总体的波动情况进行推断和比较,当=,＜时,
8、甲为优秀.（4）样本方差.标准差计算的简化.方差的计算公式s2可简化为：（Ⅰ）s2=［++…+］-nx2,或写成s2=(++…)-x2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.（Ⅱ）s2
