高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计知识导引学案苏教版必修3

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1、2.3．1　平均数及其估计案例探究为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5~18岁的男生的体重情况,结果如下（单位:kg）56.569.56561.564.566.56464.57658.57273．556677057.565.56871756268.562．56659.563．564.567.57368557266.574636055.57064.5586470.55762．5656971．573625876716663．55659.563．5657074.568.56455.572．566.5687657.56071．5

2、5769.57464.55961．5676863．5585965.562．569.57264.575.568.5646265.558.567.570.5656666.5706359.5根据上述数据我们可以画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计.由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积反映了数据落在各个小组的频率的大小.在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，体重在（64.5，66.5）kg的学生比体重为其他值的学生数多，但他并没有告诉我们多多少.试问：怎样将各个样本数

3、据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征.应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.我们常用算术平均数（其中ai（i=1,2,…,n）为n个实验数据）作为体重的最理想的近似值，它的依据是什么呢？处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小，设这个近似值为x，那么它与n个实验值ai（i=1,2,…,n）的离差分别为x－a1，x－a2，x－a3,…,x－an.由于上述离差有正有负，故不宜直接相加.可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究

4、

5、x-a1

6、+

7、x-a2

8、+…+

9、x-an

10、取最小值时x的值.但由于含有绝对值，运算不太方便，所以，考虑离差的平方和，即（x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋（x－an）2，当此和最小时，对应的x的值作为近似值.因为（x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋（x－an）2＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an）x+a12+a22+…+an2，所以当x=时离差的平方和最小，故可用作为表示体重的理想近似值，称其为这n个数据a1,a2,…,an的平均数（average）或均值（mean），一般记为=.这样，我们可以用计算器求得，该地区内100名年龄为17.5～18岁的男生的体

11、重的最佳近似值为x＝65.5（kg）.这样我们就得到了样本平均数的求解方法：样本数据的算术平均数，即=.Excel中函数“AVERAGE（）”可直接用于计算给定数据的平均数.如求12，12．4，12．8，13，12．2，12．8，12．3，12．5，12．5的平均数，可直接把它们输到工作表中A1∶J1区域后，在某空白单元格中输入“＝AVERAGE（A1∶H1）”即可，即得它们的平均数为12．5（如下图）.自学导引1．在频率分布直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数.

12、2．下列数字特征一定是数据组中数据的是（　　）A．众数　　　　　　B．中位数C．标准差D．平均数答案：A3．数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（　　）A．1或3，2B．3，2C．1或3，1或3D．3，3答案：A4.频率分布直方图的重心是（　　）A．众数B．中位数C．标准差D．平均数答案：D疑难剖析【例1】某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下：（总分：150）甲班：112　86　106　84　100　105　98　102　94　107　87　112　94　94　99　90　12098　95　119108　100　96　115　

13、111　104　95　108　111　105104　107　119　107　93102　98　112　112　9992　102　93　84　9494　100　90　84　114乙班：116　95　109　96　106　98　108　99　110　10394　98　105　101　115　104　112　101　113　96108　100　110　98　10787　108　106　103　97107　106　111　12197　107　114　122　101　107107　111　114106　104　104　95　111　111　110试确定这次考试中，哪

14、个班的语文成绩更好些.思路分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数