高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案 选修2-2

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1、选修2-23.2.2复数代数形式的乘除运算一、选择题1．(2010·安徽理，1)i是虚数单位，＝(　　)A.－i　　　　　　　B.＋iC.＋iD.－i[答案]　B[解析]　＝＝＝＋i，故选B.2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]　B[解析]　考查复数的运算．z＝－2＋i，对应点位于第二象限，∴选B.3．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　)A．2iB．iC．－iD．－2i[答案]　D[解析]　本小题主要考查复数的运算．设z＝bi(b∈R)，则＝＝＋i，∴＝0，∴b

2、＝－2，∴z＝－2i，故选D.4．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是(　　)A．－15B．－3C．3D．15[答案]　B[解析]　本题考查复数的概念及其简单运算．＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝(　　)A．8B．6C．4D．2[答案]　C[解析]　考查阅读理解能力和复数的概念与运算．∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.又使in＝1成立的最小正整数n＝4，∴a(i)＝4.6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，

3、则＝(　　)A．2－iB．2＋iC．－2－iD．－2＋i[答案]　A[解析]　考查复数的运算．z＝－1＋2i，则＝＝＝2－i.7．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则(　　)A．b2＝3a2B．a2＝3b2C．b2＝9a2D．a2＝9b2[答案]　A[解析]　本小题主要考查复数的运算．(a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i，∴3a2b－b3＝0，∴3a2＝b2，故选A.8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)A．iB．－iC．±1D．±i[答案]　D[解析]　本

4、题主要考查复数的运算．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z＋＝4，z＝8得∴∴z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i，＝＝－i或＝＝i.∴＝±i，故选D.9．(2010·新课标全国理，2)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　)A.　　　B.　　　C．1　　　　D．2[答案]　A[解析]　∵z＝＝＝＝＝＝＝＝，∴＝，∴z·＝

5、z

6、2＝，故选A.10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．1－3i[答案]　A[解析]　由定义得＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i

7、∴z＝＝3－i.故应选A.二、填空题11.表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.[答案]　1[解析]　本小题考查复数的除法运算．∵＝＝i，∴a＝0，b＝1.因此a＋b＝1.12．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.[答案]　1＋i[解析]　本题主要考查复数的运算．∵z＝i(2－z)，∴z＝＝1＋i.13．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限．[答案]　二[解析]　∵mx2－nx＋p>0(m、n

8、、p∈R)的解集为(－1，2)，∴，即m<0，p>0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．[答案]　[解析]　设＝bi(b∈R且b≠0)，∴z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.∴⇒a＝.三、解答题15．计算：(1)＋2000＋；(2)1＋in＋i2n＋…＋i2000n(n∈N)．[解析]　(1)原式＝＋(－i)100＋＝i＋1＋＋i＝＋i.(2)当n＝4k(k∈N)时，原式＝1＋1＋…＋1＝2001.当n≠4k(k∈N)时

9、，原式＝＝＝＝1.16．已知复数z＝，ω＝z＋ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围．[解析]　z＝＝＝＝＝1－i∵ω＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i∴＝＝＝∴＝≤∴a2－2a－2≤0，∴1－≤a≤1＋故a的取值范围是[1－，1＋]．17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)．(1)求b，c的值；(2)试证明1－i也是方程的根．[解析]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0即b＋c＋(2＋b)i＝0∴解得.(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0把1－i代入方程左边得左边＝

10、(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立∴1－i也是方程的根．18．已知ω＝z＋i(z∈C)，是纯虚数，又

11、ω＋1

12、2＋

13、ω－1

14、2＝16