3.2.2复数代数形式的乘除运算.

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1、3．2.2复数代数形式的乘除运算掌握复数的乘法、除法的运算法则并能熟练准确地运用法则解决相关的问题．本节重点：复数代数形式的乘除运算．本节难点：复数除法．1．复数的乘法按多项式乘法的规则进行运算，结果中的i2要换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的乘积仍然是一个复数．2．i的幂的周期性．i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N*)．1．复数乘法运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝.2．复数乘法满足交换律、结合律及分配律对任意z1、z2、z3∈C，有①z1·z2＝；②(z1z2)

2、z3＝；③z1(z2＋z3)＝.(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3[例1](1)设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)．若z1z2为实数，求实数x；(2)计算：(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；(3)计算：(a＋bi)(a－bi)(a，b∈R)．[分析](1)利用乘法法则先求出z1z2，由z1z2的虚部等于零可求得x.(2)主要利用i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝1，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．(3)也可直接应用平方差公式．[解析](1)z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝x＋2i＋xi－2＝(

3、x－2)＋(2＋x)i，因为z1z2是实数，所以x＋2＝0，所以x＝－2.(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.(3)原式＝a2－abi＋bai－b2i2＝a2＋b2.[点评]复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，即先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次高级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如含有i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(1)若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b等于()[

4、答案]A(2)(2009·江苏，1)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．[答案]－20[解析]本题主要考查复数的概念及运算．∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i.∴复数(z1－z2)i的实部为－20.[分析]对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的目的．[点评]复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接地约简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接

5、约分化简，复数除法的一般作法是，由于两个共轭复数的积是一个实数，因此两个复数相除，可以先把它们的商写成分式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数并把结果化简即可．[答案]A[答案]A[解析](1)设z＝x＋yi(x，y∈R)．则集合P＝{(x，y)

6、x2＋y2－6y＋5＝0}＝{(x，y)

7、x2＋(y－3)2＝4}，故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．设w＝a＋bi(a，b∈R)．z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.[例4]计算：i＋i2＋i3＋…＋i2011.[分析]由题目可获取以下主要信息：已知虚数单位i的幂，求和．解答本题可利用等比数列求和公式化简或者

8、利用in的周期性化简．[点评]1.虚数单位i的周期性．①i4n＋1＝1，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．n也可以推广到整数集．②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．计算：1＋2i＋3i2＋…＋2012·i2011.[解析]设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2012i2011①则iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2011i2011＋2012i2012②①－②得(1－i)·S＝1＋i＋i2＋…＋i2011－2012i2012＝－1－2012(i4)503＝－2013对于n个复数z1、z2、…、zn，如果存在n个不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得k1z1

9、＋k2z2＋…＋knzn＝0，就称z1、z2、…、zn线性相关．若要说明复数z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，那么可取{k1，k2，k3}＝__________.(只要写出满足条件的一组值即可)[答案]C[答案]B3．(2010·江西理，1)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为()A．x＝－1，y＝1B．x＝－1，y＝2C．x＝1，y＝1D．x＝1，y＝2[答案]D[解析]由(x＋i)(1－i)＝y得(x＋1)－(x－1)i＝y