高中数学 1.2.1等差数列的概念及通项公式1学案 北师大版必修5

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1、§2　等差数列第1课时　等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这

2、个数列不是等差数列.②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1(n∈N+且n≥2).（2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同一个常数(或an-an-1(n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可

3、举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1(n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：∵{an}是等差数列，∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,…,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,∴an=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：∵{an}是等差数列，则有an

4、=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.（2）通项公式的变形公式在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有am=a1+(m-1)d　　　①an=a1+(n-1)d　　　②由②-①得an-am=(n-m)d,∴an=am+(n-m)d.注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关

5、于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=(n≠m).（3）通项公式的应用①利用通项公式可以求出首项与公差;②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d>0时，{an}为递增数列，如图（

6、甲）所示.当d<0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示.当d=0时，{an}为常数列，如图(丙)所示.4.等差中项如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做数a与b的等差中项.注意:(1)等差中项A=a,A,b成等差数列；(2)若a,b,c成等差数列，那么b=，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的；(3)用递推关系an+1=(an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.知能自主梳理1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的　　　　是　　　　，我们称这样的数列为等差数列.2.等差

7、中项如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做　　　　.3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当n≥2时，　　　　.（2）如果an+1=对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是　　　　.（3）若a,A,b成等差数列，则A＝　　　　.4.等差数列的通项公式等差数列的通项公式为，它的推广通项公式为.5.等差数列的单调性当d>0时，{an}是数列；当d=0时，{an}是数列；当d<0时，{an｝是数列.［答案