高一培优学案之抽屉原理.doc

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1、高一培优学案抽　屉　原　理开封十中数学组朱汴梁2010年3月28日在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定存在两个数，它们中的一个是另一个的整数倍”. 这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”.在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。解决这类问题需要一个朴素的数学思想，就是“抽屉原理”.关键词：抽屉苹果重叠一．从《晏子春秋》·“二桃杀三士”说起《

2、晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事，大意是：  齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子. 这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴.晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃. 三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子.于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃.两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳.公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子.并且觉得自己功劳不如人家，却

3、抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了.古冶子见了，后悔不迭.仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气.如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了.  晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺的写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士.谁能为此谋，相国务晏子！”  值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理——抽屉原理.  什么叫抽屉原理？简单地说就是：把多于ｍ个物品放到n个抽屉里，至少有一个抽屉里的物品不

4、止一个。更一般地说，把m×n＋1个物品放到m个抽屉里，总有一个抽屉里的物品至少有n＋1个.例如，在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子.如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的羞耻，那么悲剧的结局就无法避免.  一．例子例2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 　　分析：本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”，其中一个是另一个的整数倍。我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等

5、比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N+,K∈N+，n∈N,则m=(2k-1)•2n，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，…… 　　证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）： 　　（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；　　（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；　　（3）{5，5×2，5×22，5×

6、23，5×24}；　　（4）{7，7×2，7×22，7×23}；　　（5）{9，9×2，9×22，9×23}；　　（6）{11，11×2，11×22，11×23}；　　　　……　　（25）{49，49×2}；　　（26）{51}；　　　　……　　（50）{99}。 　　这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。 　例3．从前25个自然数中任意取出7

7、个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。　　证明：把前25个自然数分成下面6组：　　　　1；　　　　　　　　　　　　　　　　①　　　　2，3；　　　　　　　　　　　　　　②　　　　4，5，6；　　　　　　　　　　　　　③　　　　7，8，9，10；　　　　　　　　　　　④　　　　11，12，13，14，15，16；　　　　⑤　　　　17，18，19，20，21，22，