2019版高考数学大一轮复习高考必考题突破讲座（四）立体几何中的直线、平面的位置关系优选学案

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1、高考必考题突破讲座(四)立体几何中的直线、平面的位置关系题型特点考情分析命题趋势1.线面位置关系与体积计算．2．折叠问题．3．线面位置关系中的探索性问题.2017·全国卷Ⅱ，182017·全国卷Ⅲ，192017·山东卷，182017·北京卷，181.线、面的平行与垂直关系是考查的热点，通过空间几何体的体积计算，考查学生的空间想象能力．2．平面图形折叠成空间几何体．3．是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题.分值：12～14分1．平行、垂直关系的证明与体积的计算以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体，通过空间平

2、行、垂直关系的论证命制，主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等．2．平面图形折叠成空间几何体先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．解决这类问题的关键是搞清翻折前后图形

3、中线面位置关系和度量关系的变化情况．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．3．线、面位置关系中的探索性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型．【例1】(2017·北京卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平

4、面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．解析　(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥E－BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.

5、【例2】(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积．解析　(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF，得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC，得＝＝.由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH

6、2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又因为OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由＝，得EF＝.五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝××2＝.【例3】(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四

7、面体ACDE的体积比．解析　(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC是直角三角形，所以EO＝AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距

8、离为，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.【例4】(2018·浙江嘉兴一中期中)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是CD的中点，将三角形ADE沿AE翻折到图②的位置，使得平