2019版高考数学一轮复习高考必考题突破讲座（四）直线、平面与空间向量的应用学案

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1、高考必考题突破讲座(四)直线、平面与空间向量的应用题型特点考情分析命题趋势立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，一至两道选择题或填空题．小题主要考查学生的空间想象能力及简单计算能力．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算．重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力.2017·全国卷Ⅰ，182017·全国卷Ⅲ，192017·浙江卷，192017·山东卷，17热点题型主要有空间角的计算、平面图形的翻

2、折、探索性问题等.分值：12分1．空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(1)空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．(2)利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题

3、规范．2．立体几何中的探索性问题一般以解答题形式呈现，常涉及线面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，其解决方式有：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在．3．立体几何中的折叠问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力．【例1】(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABC

4、D中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．解析(1)由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F.由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD．以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，

5、

6、为单位长，建立如图所

7、示空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A，P，B，C.所以＝，＝(，0,0)，＝，＝(0,1,0)．设n＝(x，y，z)是平面PCB的法向量，则即可取n＝(0，－1，－)．设m＝(a，b，c)是平面PAB的法向量，则即可取m＝(1,0,1)．则cos〈n，m〉＝＝－.所以二面角A－PB－C的余弦值为－.【例2】(2018·河南郑州高三联考)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝，AB＝2AD．(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；(2

8、)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．解析(1)在△ABD中，∠ABD＝，AB＝2AD，由余弦定理，得BD＝AD，从而BD2＋AD2＝AB2，所以△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°，故BD⊥AD．因为DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DE⊥BD．又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.(2)由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝，BD＝AD，又由ED＝BD，设AD＝1，则BD＝ED＝.因为DE⊥平面ABCD，BD⊥A

9、D，所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(1,0,0)，C(－1，，0)，E(0,0，)，F(0，，)．所以＝(－1,0，)，＝(－2，，0)．设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得n＝(，2,1)，为平面AEC的一个法向量．因为A＝(－1，，)，所以cos〈n，A〉＝＝，所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.【例3】(2016·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝P

10、D，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．解析(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD．所以AB⊥PD．又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB．(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD．又因为PO⊂平面PAD，平