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《2019版高考数学一轮复习 高考必考题突破讲座（四）直线、平面与空间向量的应用练习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考必考题突破讲座(四)直线、平面与空间向量的应用[解密考纲]立体几何问题是高考的重要内容，每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题和空间夹角的计算等，难度中等．1．(2018·广东五校诊断)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED
2、所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．解析(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AE.∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.(2)以O为原点，，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1,0，a)(a>0)，＝(－1,0，a)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝1，则n＝(－2,0,1)，由题意得sin45°
3、＝
4、cos〈，n〉
5、＝＝＝.∵a>0，∴解得a＝3.∴＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，∴cos〈·〉＝＝＝.故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.2．(2018·河南郑州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC,2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.(1)求证：平面PBAD⊥平面COD；(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值．解析(1)证明：∵OB＝OC，又∵∠ABC＝，∴∠OCB＝，∴∠BOC＝，即CO⊥AB．又PO⊥平面ABC，OC⊂平面AB
6、C，∴PO⊥OC．又∵PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB＝O，∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PBAD．又CO⊂平面COD，∴平面PBAD⊥平面COD．(2)以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设
7、OA
8、＝1，则
9、PO
10、＝
11、OB
12、＝
13、OC
14、＝2，
15、DA
16、＝1.则C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0，－1,1)，∴＝(0，－1，－1)，＝(2，－2,0)，＝(0，－3,1)．设平面BDC的法向量为n＝(x，y，z)，∴∴令y＝1，则x＝1，z＝3，∴n＝(
17、1,1,3)．设PD与平面BDC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为.3．(2018·湖北武汉调考)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．解析方法一 (1)建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)，设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0，且＝(x－2，y－2，z，)，＝(x，y－2，z)．
18、＝(x－1，y，z)．由
19、
20、＝
21、
22、，得＝，得x＝1，由
23、
24、＝1得y2＋z2＝1，①由
25、
26、＝2得y2＋z2－4y＋1＝0，②由①②解得y＝，z＝，∴S，＝，＝，＝，∴·＝0，·＝0，∴DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩DS＝S，∴SD⊥平面SAB．(2)设平面SBC的一个法向量为m＝(a，b，c)，＝，＝(0,2,0)，＝(－2,0,0)，由得∴可取m＝(－，0,2)，故AB与平面SBC所成的角的正弦值为cos〈m，〉＝＝＝.方法二 (1)如右图，取AB的中点E，连接DE，SE，则四边形BCDE为矩形，∴DE＝CB＝2，
27、∴AD＝＝.∵侧面SAB为等边三角形，AB＝2，∴SA＝SB＝AB＝2，且SE＝，又SD＝1，∴SA2＋SD2＝AD2，SE2＋SD2＝ED2，∴SD⊥SA，SD⊥SB，又AS∩DS＝S，∴SD⊥平面SAB．(2)作S在DE上的射影G，∵AB⊥SE，AB⊥DE，AB⊥平面SDE，∴平面SDE⊥平面ABCD，两平面的交线为DE，∴SG⊥平面ABCD，在Rt△DSE中，由SD·SE＝DE·SG得1×＝2×SG，∴SG＝，作A在平面SBC上的射影H，则∠ABH为AB与平面SBC所成的角，∵CD∥AB，AB⊥平面SDE，∴C
28、D⊥平面SDE，∴CD⊥SD，在Rt△CDS中，由CD＝SD＝1，求得SC＝.在△SBC中，SB＝BC＝1，SC＝，∴S△SBC＝××＝，由VA－SBC＝VS－ABC，得·S△SBC·AH＝·S△ABC·SG，即××AH＝××2×2×，得AH＝，∴sin∠ABH＝＝，故AB与平面SBC所成的角的正弦值为.4．(2018·安徽江南名校联考)如图，
