2019版高考数学一轮复习 高考必考题突破讲座（五）直线与圆锥曲线的综合应用学案

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1、高考必考题突破讲座(五)直线与圆锥曲线的综合应用题型特点考情分析命题趋势1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的解题方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.2017·全国卷Ⅱ，202017·北京卷，182017·江苏卷，172017·山东卷，211.求直线或曲线所过的定点．2．求与圆锥曲线有关的定值问题．3．求与圆锥曲线相关的面积、距离的最值．4．探求与圆锥曲线有关的存在性问题.分值：12～14分1．直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长问题(1)研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一般转化为

2、研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用．但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解．(2)涉及弦的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不解法简化运算、计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．处理中点弦问题常用的求解之法①点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．②根与系数的关

3、系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．2．范围、最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法，一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．3．定点、定值以及探索性问题(1)圆锥曲线中定点问题的两种解法：①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量

4、与参数何时没有关系，找到定点．②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．(2)解决定值问题一般有两种方法：①从特殊情况入手，求出定值，再证明定值与变量无关；②直接计算、推理，在推理过程中消去变量，注意设而不求，整体思想和消元思想的运用．(3)解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要发散思维，采

5、取另外合适的方法．【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．解析(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，∴c＝1，又点P(0,1)在曲线C1上，∴b＝1，a2＝b2＋c2＝2，故椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋m.代入x2＋2y2－2＝0中，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l

6、与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.　①由消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.　②由①②，解得或所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.【例2】(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求

7、PA

8、·

9、PQ

10、的最大值．解析(1)设直线AP

11、的斜率为k，则k＝＝x－，因为－

12、PA

13、＝＝(k＋1)，

14、PQ

15、＝(xQ－x)＝－，所以

16、PA

17、·

18、PQ

19、＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，故当k＝时，

20、PA

21、·

22、PQ

23、取得最大值.【例3】设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线

24、l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围．解析(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点为F(2x－1，y)．由抛物线的定义得

25、AF

26、＝2，即(2x)2＋y2＝4，所以轨迹C的方程为x2＋＝1(x≠1)．(2)设MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知两式相减，得4