2019版高考数学大一轮复习高考必考题突破讲座（五）直线与圆锥曲线的综合应用优选学案

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1、高考必考题突破讲座(五)　直线与圆锥曲线的综合应用题型特点考情分析命题趋势　圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主，这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现.2017·全国卷Ⅰ，202017·山东卷，212017·天津卷，202017·江苏卷，17　圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有

2、四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点.分值：12～14分1．圆锥曲线中的标准方程与几何性质问题圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、抛物线的准线、双曲线的渐近线是常考题型．2．圆锥曲线中的定点与定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(

3、纵)坐标等的定值问题．3．圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．4．圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组

4、有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．【例1】(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　D　)A．－＝1　　　B．－＝1C．－y2＝1　　　D．x2－＝1(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F.点P，Q是椭圆与抛物线的交点，若直线PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为__　－1　__

5、.解析　(1)双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得＝，②联立①②解得b＝，a＝1，所求双曲线的方程为x2－＝1.故选D.(2)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.如图所示，将x＝代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ经过焦点F，所以P，且PF⊥OF.所以

6、PE

7、＝＝p，

8、PF

9、＝p，

10、EF

11、＝p.故2a＝p＋p,2c＝p，e＝＝－1.【例2】(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆

12、C截直线y＝1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是点M关于O的对称点，⊙N的半径为

13、NO

14、.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．解析　(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，所以a2＝4，b2＝2，因此椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，由Δ>0，得m2<4k2＋2

15、，　(*)且x1＋x2＝－，因此y1＋y2＝，所以D.又N(0，－m)，所以

16、ND

17、2＝2＋2，整理得

18、ND

19、2＝，因为

20、NF

21、＝

22、m

23、，所以＝＝1＋.令t＝8k2＋3，t≥3.故2k2＋1＝，所以＝1＋＝1＋.令y＝t＋，所以y′＝1－.当t≥3时，y′>0，从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，因此t＋≥，当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0，所以≤1＋3＝4，故≥，设∠EDF＝2θ，则sinθ＝≥，所以θ的最小值为.从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0.由(*)得－

24、(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值.【例3】已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理