2019版高考数学大一轮复习高考必考题突破讲座（一）导数及其应用优选学案

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1、高考必考题突破讲座(一)导数及其应用题型特点考情分析命题趋势1.极值、最值、导数几何意义及单调性的综合问题．2．利用导数研究不等式的综合问题.2017·全国卷Ⅰ，212017·全国卷Ⅱ，212017·全国卷Ⅲ，212017·天津卷，191.以函数为载体，以导数为解题工具，主要考查函数的单调性、极值、最值问题的求法，以及参数的取值范围问题．2．不等式的证明问题是高考考查的热点内容，常与不等式、二次函数等相联系．问题的解决通常采用构造新函数的方法.分值：12～14分1．利用导数研究函数的性质以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高

2、考的热点．主要考查：(1)讨论函数的单调性和单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．2．利用导数研究函数的零点或曲线交点问题导数与函数方程交汇是近年命题的热点，常转化为研究函数图象的交点问题，研究函数的极(最)值的正负．主要考查：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．3．利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．主要考查证明不等式和不等式成立(恒成立)问题．(1)利用导数证明不等式的方法可以从

3、所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．(2)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(3)不等式成立(恒成立)问题常见的转化方法①f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a，f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a；②f(x)≤b恒

4、成立⇔f(x)max≤b，f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b；③f(x)>g(x)恒成立F(x)min>0；④∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max；⑤∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min；⑥∃x1∈M，∃x2∈B，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min；⑦∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.【例1】(2017·天津卷)设a，b∈R，

5、a

6、≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝exf(

7、x)．(1)求f(x)的单调区间；(2)已知函数y＝g(x)和y＝ex的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线．①求证：f(x)在x＝x0处的导数等于0；②若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0－1，x0＋1]上恒成立，求b的取值范围．解析　(1)由f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，可得f′(x)＝3x2－12x－3a(a－4)＝3(x－a)[x－(4－a)]．令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝4－a.由

8、a

9、≤1，得a<4－a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(－∞，a)(a,4－a)(4－a，＋∞)f′(x＋－＋)f

10、(x)单调递增单调递减单调递增所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(4－a，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a)．(2)①证明：因为g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，由题意知所以解得所以f(x)在x＝x0处的导数等于0.②因为g(x)≤ex，x∈[x0－1，x0＋1]，且ex>0，所以f(x)≤1.又因为f(x0)＝1，f′(x0)＝0，所以x0为f(x)的极大值点，由(1)知x0＝a.另一方面，由于

11、a

12、≤1，故a＋1<4－a.由(1)知f(x)在(a－1，a)内单调递增，在(a，a＋1)内单调递减，故当x0＝a时，f(x)≤f(a)＝1在[

13、a－1，a＋1]上恒成立，从而g(x)≤ex在[x0－1，x0＋1]上恒成立．由f(a)＝a3－6a2－3a(a－4)a＋b＝1，得b＝2a3－6a2＋1，－1≤a≤1.令t(x)＝2x3－6x2＋1，x∈[－1,1]，∴t′(x)＝6x2－12x.令t′(x)＝0，解得x＝2(舍去)或x＝0.因为t(－1)＝－7，t(1)＝－3，t(0)＝1，所以t(x)的值域为[－7,1]．所以b的取值范围是[－7,1]．【例2】(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)·ex＋a(x－1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范

14、围．解析　(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x