2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点11 三角化简与求值 理

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1、考点11三角化简和求值【考点剖析】1.最新考试说明:(1)利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点.(2)考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用.(3)考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.2.命题方向预测:(1)考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.(2)公式逆用、变形应用是高考热点.(3)题型以选择题、解答题为主.3.课本结论总结:(1)同角三角函数的基本关系①平方关系:sin2α+cos2α=1;②商数关系:=tanα.(2)诱导公式公式一:

2、sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=,其中k∈Z.公式二:sin(π+α)=,cos(π+α)=,tan(π+α)=tanα.公式三:sin(-α)=,cos(-α)=.公式四:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=.公式五:=,=sinα.公式六:=,=诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①C(α-β):cos(α-β)=;②C(α+β):cos(α+β)=;③S(α+β):sin(α+β)=;④S(α-β):sin(α-β)=;⑤T(α+β):tan(α+β)=;⑥T(α-

3、β):tan(α-β)=.(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式①S2α:sin2α=;②C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;③T2α:tan2α=.4.名师二级结论:(1)有关公式的逆用、变形等①tanα±tanβ=;②cos2α=,sin2α=;③1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,.(2)函数(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一确定.(3)三种方法在求值与化简时,常用方法有:①弦切互化法

4、:主要利用公式tanα=化成正、余弦.②和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.③巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan=….(4)三个防范①利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化锐.特别注意函数名称和符号的确定.②在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.5.课本经典习题:(1)新课标A版第64页,第A8题(例题)已知,计算:(1);

5、(2);(3)【经典理由】弦化切的典型例题.(2)新课标A版第130页,第例4(3)题(例题)求值:【解析】【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合.(3)新课标A版第137页,第A5题(例题)已知,,求的值.【解析】,;又,;则.【经典理由】1.求三角函数值时,要注意角的范围;2.注意用已知角表示所求角.6.考点交汇展示:(1)与三角函数的图像与性质的交汇1.【2017课标3,文6】函数的最大值为()A.B.1C.D.【答案】A【解析】由诱导公式可得:,则:,函数的最大值为.2.【2018届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】已知向量,,函

6、数的最大值为.(1)求的大小;(2)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,作出函数在的图象.【答案】(1);(2)图象见解析.试题解析:(1)=Asinxcosx+cos2x=A(sin2x+cos2x)=Asin(2x+).因为f(x)的最大值为6,A>0,所以A=6.(2)由(1)得f(x)=6sin(2x+).将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=6sin[2(x+)+]=6sin(2x+)的图象;再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+

7、)的图象.因此的图像如图所示.(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇1.【2017浙江,18】已知函数f(x)=sin2x–cos2x–sinxcosx(xR).(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期为,单调递增区间为.【解析】试题分析:(Ⅰ)由函数概念,分别计算可得;(Ⅱ)化简函数关系式得,结合可得周期,利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间.2.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】设函数.(1)求函数的最小正周期及最大值;(2)求函数的单调递增区间.【答案】(1),(2)【解析】试题

8、分析:(1)化简为,周期最值易得解,(2)利用整体思想令解得x的范围即可.试题解析:(1),∴,.(2)由,,.(3)与一

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