2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点13 解三角形 理

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1、考点13解三角形【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.(2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．2.命题方向预测：(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．(2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.课本结论总结：（1）正弦定理：＝＝（2）余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abc

2、osC．余弦定理可以变形为：cosA＝，cosB＝，cosC＝.（3）S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB（4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解（5）常见题型：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可

3、解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．4.名师二级结论：（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsinA＞sinB.（2）正弦定理的变形：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；②a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；③sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．（4）三角形的面积公式：S△ABC＝absinC＝bcsin

4、A＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（5）解三角形的常用途径：①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．5.课本经典习题：(1)新课标A版第10页，第B2题（例题）在中，如果有性质，试问这个三角形的形状具有什么特点．【经典理由】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。新课标A版第25页，第B3题（例题）研究一下，一个三角形能否同时具有一下两个性质：（1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍.【

5、解析】设三角形的三边长依次为，对应角依次为;由正弦定理，得，则，又由余弦定理得，化简得，解得，即存在这样的三角形，边长依次为4,5,6.【经典理由】综合考查解三角形与二倍角公式.6.考点交汇展示：(1)与三角函数的图像与性质的交汇【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足．（1）证明：；（2）若，设，，，求四边形面积的最大值．【答案】（1）见解析;（2）.试题解析:（1）由题意知：，解得：，∵，∴，∴，∴.∴.（

6、2）因为，，所以，所以为等边三角形，，∵，∴，当且仅当，即时取最大值，的最大值为.（2）与平面向量的交汇【2017浙江，14】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】(3)与实际问题的交汇【【全国百强校】2018届江苏省泰州中学高三10月月考】如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中.（1）若，求的面积的最大值；（2）若的面积为，问为何值时取得最小值.【答案】（1）；（2）时，有最小值，即最小.【解析】试题分析：（1）建系设点，根据条件求出A的轨迹方程，则三角形的高

7、为圆上动点到直线的距离，数形结合可求三角形面积的最大值．（2）设，表示出三角形面积，求出BC=，利用导数求其最值即可.试题解析：（1）以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由得，化简得.所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆.（除去与轴的交点），所以.（2）设，由得.令，令得，列表：略.在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值，即最小.【考点分类】热点一利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积为，求.【答案】(1

8、)；(2)。【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出。2.【2017山东，文17】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.【答案】【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公