2018届高考数学黄金考点精析精训考点11三角化简与求值理

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1、考点11三角化简和求值【考点剖析】1.最新考试说明：（1）利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点．（2）考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．（3）考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.2.命题方向预测：（1）考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.（2）公式逆用、变形应用是高考热点．（3）题型以选择题、解答题为主.3.课本结论总结：（1）同角三角函数的基本关系①平方关系：sin2α＋cos2α＝1；②商数关系：＝tan

2、α.（2）诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝，cos(－α)＝.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝.公式五：＝，＝sinα.公式六：＝，＝诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①C(α－β)：cos(α－β)＝；②C(α＋β)：cos(α＋β)＝；③S(α＋β)：sin(α＋β)＝；④S(α－β)：sin(α－β

3、)＝；⑤T(α＋β)：tan(α＋β)＝；⑥T(α－β)：tan(α－β)＝.(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式①S2α：sin2α＝；②C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③T2α：tan2α＝.4.名师二级结论：（1）有关公式的逆用、变形等①tanα±tanβ＝；②cos2α＝，sin2α＝；③1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，.（2）函数(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ

4、可由a，b的值唯一确定．（3）三种方法在求值与化简时，常用方法有：①弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．②和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．③巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….（4）三个防范①利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．②在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．③注意求值与化简后的结果一般

5、要尽可能有理化、整式化．5.课本经典习题：(1)新课标A版第64页，第A8题（例题）已知，计算：（1）；（2）；（3）【经典理由】弦化切的典型例题.(2)新课标A版第130页，第例4（3）题（例题）求值：【解析】【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合.(3)新课标A版第137页，第A5题（例题）已知,,求的值.【解析】，；又，；则.【经典理由】1.求三角函数值时，要注意角的范围；2.注意用已知角表示所求角.6.考点交汇展示：(1)与三角函数的图像与性质的交汇1.【2017课标3，文6】函数的最大值为（）A．B．1C．

6、D．【答案】A【解析】由诱导公式可得：，则：,函数的最大值为.2.【2018届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】已知向量，，函数的最大值为.(1)求的大小；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，作出函数在的图象．【答案】(1)；(2)图象见解析.试题解析：(1)＝Asinxcosx＋cos2x＝A(sin2x＋cos2x)＝Asin(2x＋)．因为f(x)的最大值为6，A>0，所以A＝6.(2)由(1)得f(x)＝6sin(2x＋)．将函数y＝f(x)的图

7、象向左平移个单位后得到y＝6sin[2(x＋)＋]＝6sin(2x＋)的图象；再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋)的图象．因此的图像如图所示.(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇1.【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函

8、数的单调递增区间．2.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】设函数.（1）求函数的最小正周期及最大值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）化简为,周期最值易得解,（2）利用整体思想令解得x的范围即可.试题解析：（1），∴，.（2）由，，.(3)与一