2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.2 换底公式学案 北师大版必修1

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1、3.4．2　换底公式1.能推导出对数的换底公式．(重点)2.会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理　换底公式阅读教材P83～P86有关内容，完成下列问题．　换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，logab·logba＝1，logba＝．1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)logab＝＝.(　　)(2)log52＝.(　　)(3)logab·logbc＝logac．(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)√2.(log29)·(log34)＝

2、(　　)A.　　　B.　　　C．2　　　D．4【解析】　法一：原式＝·＝＝4.法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.【答案】　D[小组合作型]利用换底公式化简求值　计算：(1)log1627log8132；(2)已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.【精彩点拨】　在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．【尝试解答】　　(1)log1627log8132＝×＝×＝×＝.(2)∵log23＝a，则＝log32，又∵log37＝b，∴log4256＝＝＝.1.

3、换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．2.换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝logab.[再练一题]1.化简：(log43＋log83)(log32＋log92)【解】　原式＝＝＝log23·log32＝.用已知对数表示其他对数　已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.【精彩点拨】　运用换底公式，统一化为以18为底的对数．【尝试解答】　　法一：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝

4、18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.法二：∵18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝＝＝.法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log3645＝＝＝＝.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公

5、式的使用.[再练一题]2.若本例条件不变，求log45(用a，b表示)．【解】　由18b＝5，得log185＝b，∴log45＝＝＝.[探究共研型]对数的实际应用探究1　光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.试写出y关于x的函数关系式．【提示】　依题意得y＝ax＝ax，其中x≥1，x∈N.探究2　探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg3＝0.4771，lg2＝0.3010

6、)【提示】　依题意得ax≤a×⇒x≤⇒x(2lg3－1)≤－lg2⇒x≥≈6.572，∴xmin＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下．　某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题．(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg1.012≈0.0052，lg1.2≈0.0792)【精彩点拨】　先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值．【尝试解

7、答】　　(1)由题意y＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x∈N＋)．(2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2，∴x＝log1.0121.2＝≈≈15，故大约15年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤[再练一题]3.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg2＝0.3010

8、，lg3＝0.4771)【解析】　由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则＝()t，两边取常用对数，得lg＝lg0.90，故t＝＝≈13.【答案】　131.若lg3＝a，lg5＝b，则log53等于(　　)A.　　　　　　　　B.C．abD．ba【解析】　log53＝＝.【答案】　B2.log2·log3·log5＝