2018版高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.1.1 四种命题学案 苏教版选修2-1

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1、1．1.1　四种命题[学习目标]　1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题．知识点一　命题的概念(1)定义：能够判断真假的语句叫做命题．(2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p，则q”．通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论．知识点二　四种命题及其表示一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，那么，对p和q进行“换位”和“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题：原命

2、题：若p则q；逆命题：将条件和结论“换位”，即若q则p；否命题：条件和结论“换质”，即分别否定；逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，即分别否定，且位置互换．知识点三　四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系(2)四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真．②原命题为真，它的否命题不一定为真．③原命题为真，它的逆否命题一定为真．题型一　命题及其真假的判定例1　判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证是无理数．(2)若x∈R，则x2＋4x

3、＋7>0.(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数．(5)x＋y是有理数，则x、y也都是有理数．(6)60x＋9>4.解　(1)祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝，y＝－.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．反思与感悟　判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断

4、真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．跟踪训练1　下列语句是不是命题，若是命题，试判断其真假．(1)4是集合{1,2,3}的元素；(2)三角函数是函数；(3)2比1大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行．解　(1)是命题，且是假命题；(2)是陈述句，并且可以判断真假，是命题，且是真命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)是命题，且是假命题．题型二　四种命题的关系例2　下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若a

5、c2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．答案　①②③解析　①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.反思与感悟　要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其

6、次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪训练2　下列命题为真命题的是________．(填序号)①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．答案　①③④解析　①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程

7、无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数，故为真命题．正确的命题为①③④.题型三　等价命题的应用例3　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．解　原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：函数y＝x2

8、＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．反思与感悟　因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证