反证法之几何证明专题.doc

《反证法之几何证明专题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、反证法之几何证明专题例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互　　　　相平分。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）　　　　证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，　　　　　　　可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。　　　　　　　∵OA＝OB，M是AB中点　　　　　　　∴OM⊥AB　（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）　　　　　　　同理可得：　　　　　　　OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM　　　　　　

2、　这与已知的定理相矛盾。　　　　　　　故AB与CD不能互相平分。　　　　例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，　　　　且MN＝（AD＋BC）。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求证：AD∥BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）　　　　证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。　　　　　　　在△ABD中　　　　　　　∵BM＝MA，BP＝PD　　　　　　　∴MPAD，同理可证PNBC　　　　　　　从而MP＋PN＝（AD＋BC）　①　　　　　　　这时，BD的中点不在M

3、N上　　　　　　　若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设ADBC矛盾，　　　　　　　于是M、P、N三点不共线。　　　　　　　从而MP＋PN＞MN　②　　　　　　　由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）　　　　　　　相矛盾，　　　　　　　故假设ADBC不成立，所以AD∥BC。练习1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。　3.已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B求证：m和n必相交。　　　　　　　　　　　　　　　　　3．在△ABC中，AD⊥BC于D，

4、BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与　　　　　BE不能被点H互相平分。　　　　　　　　　　　　　　　　　4．求证：直线与圆最多只有两个交点。　　　　5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。　　　　　已知：△ABC中，AB＝AC　　　　　求证：∠B、∠C必为锐角。　　　　　　　　　　　　　　　参考答案：　　　　1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°　　　　　　　　则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°　　　　　　　　这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。　　　　　　　　故三角形中至少有一个角不大于60°。　　　　2．证明：假

5、设m和n不相交则　　　　　　　　m∥n　　　　　　　　∵m⊥l∴n⊥l　　　　　　　　这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。　　　　　　　　故m和n必相交。　　　　3．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。　　　　　　　　∴AE∥BD，即AC∥BC　　　　　　　　这与AC、BC相交于C点矛盾，　　　　　　　　故假设AD、BE被交点H平分不能成立。　　　　　　　　所以AD与BE不能被点H互相平分。　　　　4．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，　　　　　　　　M、N分别是弦AB、BC的中点。　　　　　　　　∵OA

6、＝OB＝OC　　　　　　　　∴在等腰△OAB和△OBC中　　　　　　　　OM⊥AB，ON⊥BC　　　　　　　　从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。　　　　　　　　因此直线与圆最多只有两个交点。　　　　5．证明：假设∠B、∠C不是锐角，　　　　　　　　则可能有两种情况：　　　　　　　　(1)∠B＝∠C＝90°　　　　　　　　(2)∠B＝∠C＞90°　　　　　　　　若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，　　　　　　　　这与三角形内角和定理矛盾。　　　　　　　　若∠B＝∠C＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，　　　　

7、　　　　这与三角形内角和定理矛盾。　　　　　　　　所以假设不能成立。　　　　　　　　故∠B、∠C必为锐角。