（浙江专版）2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲线与方程学案

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1、§10.5　曲线与方程考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计20132014201520162017曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.理解21(1),6分7(文),5分分析解读　　1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中,并且以第一小题的形式出现,难度适中.2.预计2019年高考试题中,求曲线的方程会有所涉及.五年高考考点　曲线与方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.(2017课标全国Ⅱ理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.

2、(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析　本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).

3、由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明

4、EA

5、+

6、EB

7、为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,

8、求四边形MPNQ面积的取值范围.解析　(1)因为

9、AD

10、=

11、AC

12、,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以

13、EB

14、=

15、ED

16、,故

17、EA

18、+

19、EB

20、=

21、EA

22、+

23、ED

24、=

25、AD

26、.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而

27、AD

28、=4,所以

29、EA

30、+

31、EB

32、=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),

33、AB

34、=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(4分)(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x

35、2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=.所以

36、MN

37、=

38、x1-x2

39、=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以

40、PQ

41、=2=4.故四边形MPNQ的面积S=

42、MN

43、

44、PQ

45、=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,

46、MN

47、=3,

48、PQ

49、=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).(12分)3.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛

50、物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析　由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=====-b=k2.所以AR∥FQ

51、.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=

52、b-a

53、

54、FD

55、=

56、b-a

57、,S△PQF=.由题设可得2×

58、b-a

59、=,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)4.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆

60、心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析　(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必