第二节 概率、古典概型.doc

《第二节 概率、古典概型.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第二节概率、古典概型除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次试验中都有可能发生，也有可能不发生.人们常常希望了解某些事件在一次试验中发生的可能性的大小.为此，我们首先引入频率的概念，它描述了事件发生的频繁程度，进而我们再引出表示事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率.1.频率定义1.1设在相同的条件下，进行了n次试验.若随机事件A在n次试验中发生了k次，则比值k/n称为事件A在这n次试验中发生的频率（Frequency），记为fn(A)=k/n.由定义1.1容易推知，频率具有以下性质：1°对任一事件A，有0≤fn(A)≤1；2°对必然事件Ω，有fn(Ω)=1；3

2、°若事件A，B互不相容，则fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)一般地，若事件A1，A2，…，Am两两互不相容，则.事件A发生的频率fn(A)表示A发生的频繁程度，频率大，事件A发生就频繁，在一次试验中，A发生的可能性也就大.反之亦然.因而，直观的想法是用fn(A)表示A在一次试验中发生可能性的大小.但是，由于试验的随机性，即使同样是进行n次试验，fn（A）的值也不一定相同.但大量实验证实，随着重复试验次数n的增加，频率fn（A）会逐渐稳定于某个常数附近，而偏离的可能性很小.频率具有“稳定性”这一事实，说明了刻画事件A发生可能性大小的数——概率具有一定的客观存在性.（严格说

3、来，这是一个理想的模型，因为我们在实际上并不能绝对保证在每次试验时，条件都保持完全一样，这只是一个理想的假设）.历史上有一些著名的试验，德·摩根（DeMorgan）蒲丰（Buffon)和皮尔逊（Pearson)曾进行过大量掷硬币试验，所得结果如表1-1所示.表1-1试验者掷硬币次数出现正面次数出现正面的频率德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005可见出现正面的频率总在0.5附近摆动，随着试验次数增加，它逐渐稳定于0.5.这个0.5就反映正面出现的可能性的大小.每个事件都

4、存在一个这样的常数与之对应，因而可将频率fn(A)在n无限增大时逐渐趋向稳定的这个常数定义为事件A发生的概率.这就是概率的统计定义.定义1.2设事件A在n次重复试验中发生的次数为k,当n很大时，频率k/n在某一数值p的附近摆动，而随着试验次数n的增加，发生较大摆动的可能性越来越小，则称数p为事件A发生的概率，记为P（A）=p.要注意的是，上述定义并没有提供确切计算概率的方法，因为我们永远不可能依据它确切地定出任何一个事件的概率.在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，况且我们不知道n取多大才行；如果n取很大，不一定能保证每次试验的条件都完全相同.而且也没有理由认为

5、，取试验次数为n+1来计算频率，总会比取试验次数为n来计算频率将会更准确、更逼近所求的概率.为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理化定义.2.概率的公理化定义定义1.3设Ω为样本空间，A为事件，对于每一个事件A赋予一个实数，记作P（A），如果P（A）满足以下条件：1°非负性：P（A）≥0；2°规范性：P（Ω)=1；3°可列可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1，A2，…，An，…，有则称实数P（A）为事件A的概率（Probability）.在第五章中将证明，当n→∞时频率fn(A)在一定意义下接近于概率P（A）.基于

6、这一事实，我们就有理由用概率P（A）来表示事件A在一次试验中发生的可能性的大小.由概率公理化定义，可以推出概率的一些性质.性质1P(Æ)=0证令An=Æ(n=1,2,…),则=Æ,且AiAj=Æ（i≠j,i,j=1,2,…）.由概率的可列可加性得P(Æ)=(Æ),而P（Æ)≥0及上式知P（Æ)=0.这个性质说明：不可能事件的概率为0.但逆命题不一定成立，我们将在第二章加以说明.性质2(有限可加性)若A1，A2，…，An为两两互不相容事件，则有证令An+1=An+2=…=Æ，则AiAj=Æ.当i≠j，i,j=1,2,…时，由可列可加性，得性质3设A，B是两个事件

7、，若AB，则有或.证由AB,知B=A∪(B-A）且A∩（B-A）=Æ.再由概率的有限可加性有P（B）=P（A∪(B-A))=P(A)+P(B-A),即P（B-A）=P（B）-P（A）；又由P(B-A）≥0，得P（A）≤P（B）性质4对任一事件A，P（A）≤1证因为AΩ，由性质3得P（A）≤P(Ω)=1性质5对于任一事件A，有=1-P（A）证因为∪A=Ω，∩A=Æ，由有限可加性，得1=P（Ω）=P（∪A）=P（）+P（A），即P（)=1-P(A)性质6（加法公式）对于任意两个事件A,B有P(A∪B)=P(A)