第九讲 重积分.doc

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1、第九讲重积分§1二重积分及其性质的几何意义：表示以曲面为曲项，母线∥轴的柱面及∑在平面上的投影；为所构成的柱体体积。性质：①为常数，；②；③，为的面积；④；；⑤（比较定理）设恒有，则有：；⑥（估值定理）设恒有，则有：，为的面积；⑦（中值定理）设在闭区域上连续，则在内至少一个，使：，为的面积；⑧（对称性）⑴设积分域关于轴对称，则：其中，为在轴的上半部分。⑵设积分域关于轴对称，则：其中，为在轴的上半部分。⑶设积分域关于直线轴对称，则：。注意：当积分区域的边界线与∥坐标轴的直线的交点超过两个时，要将划分成若干小块，使之满足

2、要求。例1：求下列积分（1）（2）（3）解：（1）由对称性有：（2）由对称性有：（3）。§2二重积分的计算一．二重积分的解题程序①画出积分域的草图；②选择坐标系，选系主要依据的形状，又时也参照被积函数的形式；ⅰ）为折边形，，，用直角坐标系，面积元素；ⅱ）为扇形或者圆形或者环形，，，，用极坐标系，面积元素；坐标变换①选择积分次序，选序的原则：ⅰ）先积分容易并能为后积分创造条件；ⅱ）对积分域的划分块越少，越好。②确定累次积分的上下限：定限口诀：后积先定限（上下限为常数）限内划条线（该线∥坐标轴）先交下限写（上下限或者为常

3、数，或者为后积分变量的函数）后交上限见；；例2：交换的积分次序后为：[]（A）；（B）；（C）；（D）；选D。二．极坐标系中累次积分限的确定⑴当极点在积分域的边界外时：；⑵当极点在积分域的边界上时：；⑶当极点在积分域的边界线内时：一．重要题型⑴题型之一：更换累次积分的积分次序解题程序：①由给出累次积分的上下限写出积分域所满足的不等式组；②由不等式组画出积分域的草图；③写好新的累次积分，由定限口诀确定上下限。例3：有极坐标系的累次积分确定直角坐标系下的累次积分[]：（A）；（B）；（C）；（D）。分析：：例4：更换如下

4、积分的次序：（1）；（2）；解：（1），（2）由例5：计算。解：；例6：计算。解：，⑵题型之二：选择积分次序凡遇到积分：均应后积分；例7：求下列积分：（1）由所围成的三角形；（2）：（3）由及轴所围成的图形；解：（1）；（2）；（3）⑶题型之三：选择坐标系例8：求由所围成的形体的体积。（注意柱面，旋转面，球面，椭球面，单叶双曲面，锥面，旋转抛物面的性质。）解：例9：求由与所围成的形体的体积和形体的表面积。[复习]：∑：与∥轴的直线的交点只有一个，则曲面∑的面积的计算公式为:,其中的是曲面∑在平面上的投影。解：先求两面

5、的交线：，即；表面积锥的表面积+旋转面的表面积；⑷杂例：例10：设连续，且，求。解：；；；例11：求下列积分（1）（2）解：（1）令：（2）§3三重积分的积分程序：①画出的草图；②根据的形状选择坐标系；ⅰ）若是由平面所围图形，用直角坐标系：；ⅱ）若是柱体，锥体或者由旋转面与平面所围形体，用柱坐标系；坐标变换：ⅲ）若是锥体或球体，用球面坐标系；坐标变换：①选择积分次序一般讲，求坐标系中积分的次序：Ⅰ）先一后二法：；Ⅱ）先二后一法：；例1：计算，是由与及所围形体。解：先二后一法：。例2：计算，是柱面与平面及所围的形体。解

6、：例3：计算，是由与所围形体。解：；；。例4：计算，是由平面曲线绕轴旋转所得旋转面与所围形体。复习：；解：旋转面：