第九讲广义积分

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1、WORD格式可编辑第九讲反常积分（广义积分）一、反常积分的计算——主要是Newton-Leibniz公式，换元法例1计算。解：令，则。若，则显然。当时，令，则。令，则，因此。从而。□例2计算。解：令，则。令，则。因此。于是专业知识整理分享WORD格式可编辑。再令，则，因此。□例3计算。解：令，则，从而。例4计算。解：利用分部积分法有。记，则当时。又显然，因此，从而有。例5求。专业知识整理分享WORD格式可编辑解：当时，。于是，由得且它为极大值点，从而。□例6证明，其中且积分有意义。证明：令，则，又，因此可设。从而有，当；，当。从而（注意上、下限变化）。□例7计算。解：因为时专业知

2、识整理分享WORD格式可编辑，而（注意积分收敛）因此。若，则，从而有。最后我们有。它也满足上面的公式。即。□二、反常积分的收敛性判别法1．比较判别法与Cauchy判别法（与-积分比较）——阶的估计例8设且，，证明：积分专业知识整理分享WORD格式可编辑收敛。证明：令。由，存在，当时，因此由和收敛知收敛。□2．时考虑的有界性。例9设在上恒正，在任意有限区间上可积，又存在，使得对任意成立。证明收敛。证明：考虑的有界性，令，取，则，因此收敛。□3．利用分部积分再判定收敛性。例10判定的收敛性。解：有分部积分法有。专业知识整理分享WORD格式可编辑而当时，因此积分收敛，从而收敛。注意到，

3、因此为正常积分。综合起来知原积分收敛。□另法：利用收敛，以及也能得到结论。而且此法可以推广。例11判定积分的收敛性（）。解：利用Dirichlet判别法知对都收敛，而。又由Dirichlet判别法知收敛，因此原积分收敛等价于积分专业知识整理分享WORD格式可编辑收敛。注意此积分函数的分母在无穷远的阶为，因此仅当时收敛。综合起来，原积分收敛当且仅当。□至于分部积分法，还有很多的题目都可用。例12考虑积分的收敛性。提示：。4．级数判别法例13设，证明反常积分当且时收敛，其余情形发散。提示：时（），因此积分发散。当时，，由于，因此积分发散。当且时，记，则，而专业知识整理分享WORD格式

4、可编辑。最后，令，则。先设，则，从而收敛，即原积分收敛。当时，取使，则，因而原积分收敛。□例14考虑积分收敛性与绝对收敛性：（1）；（2）。解：（1）记，则，从而，。因此级数（绝对）收敛，由此知原积分收敛。由于，专业知识整理分享WORD格式可编辑而发散，因此积分发散，从而原积分条件收敛。（2）记，则，其中，。类似于（1）的讨论，级数（绝对）收敛，由此知原积分收敛性与级数的收敛性相同。当时，，，从而，由发散知发散，因而原积分发散。□5．A-D判别法例15考虑积分（）专业知识整理分享WORD格式可编辑的收敛性与绝对收敛性。解：因为，收敛，单调增加趋于，因此积分收敛；当充分大时，，而绝

5、对收敛，因此绝对收敛。从而原积分收敛。同理，积分收敛，利用，原积分绝对收敛仅当。□6．变换法要点：利用简单变换不改变收敛性判别。例16考虑积分的收敛性与绝对收敛性。解法一：记，，，。由于是正常积分，因此收敛（或绝对收敛）仅当和同时收敛（或绝对收敛）。令，则（）或，从而专业知识整理分享WORD格式可编辑，，其中，。由于，于是在内，和最终单调并有界。因此由Abel判别法，和收敛或绝对收敛仅当和收敛或绝对收敛。而后面两个积分收敛仅当（Dirichlet判别法）。因而原积分仅当时收敛。为了考虑绝对可积性，我们有，类似的讨论可以证明积分当时收敛，从而由对发散知发散，即原积分不绝对收敛。归纳

6、起来，积分当时条件收敛，其余情况发散。解法二：记，，则，而当时在附近单调减少趋于零，当时在上最终单调减少趋于零。因此由Dirichlet判别法知原积分当时收敛。当或时，记，则专业知识整理分享WORD格式可编辑，从而由Cauchy收敛原理知原积分当或时发散。绝对收敛性的证明同上。□三、反常积分的收敛性与函数的数值特征1．利用Cauchy收敛原理研究函数在奇点（包括）的阶或性质例17设在上一致连续且反常积分收敛，证明。证明:若不然，，，存在，使得。由一致连续，，当时，。于是，，从而有，且与同号。因此，这与收敛的Cauchy收敛原理矛盾。因此必有。□例18设在上单调且反常积分收敛，证明

7、。证明：不妨设单调减少，从而，否则发散。，由收敛，存在，当时。因此由单调性，对任意，有，因此有。因此。□专业知识整理分享WORD格式可编辑例19设收敛，单调下降，求证。提示：，其次。2．积分的极限例20设，在上绝对可积，则。证明：，由绝对可积，存在，使得。因为，其中，分别为在区间上的下确界和上确界。由于，因此取，则在在区间上以为分点的Darboux上、下和之间，从而存在，当时，。最后，当时，专业知识整理分享WORD格式可编辑。因此结论成立。□例21设且，求证。证明：因为，因此。，