广义积分与含参量积分

《广义积分与含参量积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第十二章广义积分与含参量积分一。广义积分1.无穷积分与瑕积分定义：设为瑕点，。2。收敛充要条件。设为瑕点，3．无穷积分的性质（1）若收敛，则。（2）若收敛，则收敛。（3）与有相同的敛散性。（4）若与收敛，则。14（5）,（已知其中两项收敛）.（6）若收敛，且上严格增加，存在连续导数，，则。瑕积分有类似的性质。4．无穷积分与瑕积分可互化设为瑕点，。5．收敛判别法（1）若，则；。若，则；。常用来比较的广义积分：14；。极限形式：，若，则收敛；若，则发散。设为的瑕点，，若，则收敛；若，则发散。（2）若，上有界

2、，则当时，收敛。若在上有界，则当时，收敛二．含参量积分（一）概念：1．定义14（1）含参变量的有限积分：（2）含参变量的无穷积分：。1．无界函数的广义积分可以化为无穷限的广义积分。2．含参量无穷积分可以化为函数级数：其中为单调增加趋于无穷的数列，。所以，含参量无穷积分的理论可平行于函数级数来建立。（二）含参量无穷积分一致收敛判别法1．利用定义判别：，则在上一致收敛。2．利用充要条件：（1）柯西准则：在上一致收敛的充要条件是.(2)在上一致收敛任给单调递增数列在上一致收敛。143．M-判别法：若有控制函数

3、满足：收敛，则在上一致收敛。4．阿贝尔判别法：若（1）关于在一致收敛；（2）单调，并关于为一致有界；则关于在上一致收敛。5．狄立克莱判别法：若（1）对于和一致有界；（2）单调，并当时关于上的一致趋于零；则关于在上一致收敛。6．证明不一致收敛的方法：（1）若，则在上不一致收敛。（2）若连续，又在上收敛，但在处发散，则在上不一致收敛。（见例4）14（三）含参量积分的分析性质：性质含参量定积分含参量无穷积分条件结论条件结论连续性关于在一致收敛。可微性在上一致收敛。在上可微，且可积性I（x）、J（y）分别在[a

4、，b]、[c，d]可积在上一致收敛。I（x）在[a，b]可积14性质含参量无穷积分条件结论可积性关于y在任何闭区间[c，d]一致收敛；关于x在任何闭区间[a，b]一致收敛；与中有一个收敛。（四）利用含参量积分计算定积分。方法一：（1）把表成含参量积分；（2）验证条件，施行积分号下积分法。方法二：（1）找一个适当的含参量积分：，使得，从而，；（2）验证条件，施行积分号下微分法14，（要关于x的原函数，易于求得）；（1）对求积分；（2）令取极限，或取，以确定常数，从而得出的表达式；（3）。上述积分号下积分法

5、与积分号下微分法就是交换两种运算的顺序，其作用是使不易直接求出的积分，先经过积分处理或微分处理之后，变得易于求出。三．例题1．设，求：。解：及都在上连续，且，又因为，收敛，所以，一致收敛，从而，==（8。1）所以，，14当，由（8。1）式，得==。1．设在内成立不等式，若在上一致收敛，证明：在上一致收敛且绝对收敛。证明：由条件，从而有，。所以，在上一致收敛且绝对收敛。2．证明：若（存在），则。证明：先证在上一致收敛。方法一：用阿贝尔判别法因为（1）收敛，即关于一致收敛；（2）且对固定的y，对x单调。所以

6、，在上一致收敛。方法二：关于在非负、单调减少，在14可积，由积分第二中值定理，对一切，，有因此，从收敛，可以推出在上一致收敛。因为收敛，在上一致收敛，所以，当时，，有时，。所以，。4．设在连续,对上每一个,收敛,但积分在发散,证明:这积分在非一致收敛.证明:因为发散,所以，14.又因为在连续,所以,在一致连续.对,有从而有，故所以，关于非一致收敛.5。证明：在上连续可微。（厦门大学2002年试卷）证明：,在连续；单调一致趋于零，由狄立克莱判别法知14在一致收敛，从而在连续可微，因此，在连续可微，由的任意

7、性，在连续可微。6．设在连续，证明：。（武汉大学2003年试卷）证明：因为在连续，对任意的自然数，从而，在[0，1]有界，设。因为，由的连续性，，所以，，从而有14。所以，。练习题1.证明，若函数在是正值单调减少的，且，则无穷积分与极限同时收敛，且。2.判别下列无穷积分的敛散性：（1）；（2）；（3）。3．证明，若函数在可导，且单调减少，，而积分收敛，则无穷积分收敛。144．判别广义积分的绝对收敛与条件收敛。5．证明，若瑕积分收敛（0是瑕点），且函数在（0，1）上单调，则。6．已知，计算。7．计算无穷积

8、分。8．判别下列积分在指定区间上的一致收敛性：（1），在R上；（2），在上（）；（3），在上。9.证明，若在区域上连续，且非负，又函数在连续，则在上一致收10．证明，若收敛，则。14