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1、第九章重积分一、基础题:1．设其中；又其中试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系．解由二重积分的几何意义知，表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积；表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积（图9-1）由于位于上方的曲面关于面和面均对称，故面和面将分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分既为．由此可知2．设积分区域D由圆所围成,且,试讨论,,的大小关系.图9-1解因为当时,,,因此,,故有由二重积分的保号性便得<<．３．利用二重积分的性质估计下列积分的值(1).其中}；(2)，(其中)解 (1)在积分区域上，，
2、从而，又的面积等于1，因此．（２）因为在积分区域上有，所以有，又的面积等于，因此４．证明不等式其中：．证 由对称性知,,于是====,由于所以,因此18５．改换下列积分的次序:(1) ； (2) 解所给二次积分等于二重积分(1)其中.可改写为,因此,=．(2)由于.又可表示为,因此，原式=．６．用直角坐标求下列二重积分:(1),其中；(2),其中是有两坐标轴及直线所围成的闭区域；(3)，其中；(4)，其中是顶点分别为（0，0），（，0）和（，）的三角形闭区域．解(1)=(2)可用不等式表示为，于是
3、=(3)==(4)可用不等式表示为:于是====187．证明=证 左边====右边.８．已知D是由圆周所围成的闭区域;用极坐标计算积分解在极坐标系中，积分区域，于是，９．化二重积分为二次积分,其中积分区域D是:(1)由直线及抛物线所围成的区域;(2)由直线,及双曲线所围成的闭区域;解 (1)直线及抛物线的交点为和,于是=,或(2)三条边界两两相交,先求得3个交点为(1,1)、(2,)、(2,2).于是;或 .1０．利用极坐标计算下列各题： （1），其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域
4、； （2），其中D是由圆周，及直线，所围成的在第一象限内的闭区域．解（1）在极坐标系中，积分区域，于是，=（2）在极坐标系中，积分区域，，于是，１１． 设平面薄片所占的闭区域D由螺线上一段18弧与直线所围成，它的面密度为，求这薄片的质量.解 薄片的质量为它的面密度在薄片所占的闭区域D上的二重积分（图9-2），即 图9-2１２．求由抛物线及直线所围成的薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量.解 设所求的转动惯量为,则=====１３．积分区域是由双曲抛物线面及平面所围成的闭区域
5、，化三重积分为三次积分．解的顶和底面的交线为轴和轴，故在面上的投影区域由轴和轴和直线所围成．于是可用不等式表示为：因此１４．利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积． 解用直角坐标计算.由和消去,解得,即在面上的投影区域为.于是因此(用极坐标)１５．计算其中是由锥面与平面（）所围成的闭区域解法一由与消去，得，故在面上的投影区域，于是18====． 图9-3解法二用球面坐标进行计算，在球面坐标系中，圆锥面的方程为，平面的方程为，因此可表示为．于是=====（代入）=１６．求三重积分,其中是由曲
6、面与平面,和所围成的闭区域 解 如图9 -4可用不等式表示为,,,因此= １７．求由平面以及抛物面和柱面 图9-4 所围成的区域的体积.解=．二、提高题.１．单项选择题（1）积分的值是（ ）．(A),(B),(C),(D) (2)设:,;:,则（ ）(A)=(B)2=(C)=2(D)4=18(3)设:,,则二重积分的值为（ ）．(A)(B) (C)(D)(4)由及直线所围成的均匀薄片Ｄ（密度＝１）对直线：的转动惯量为（ ）．（Ａ） （Ｂ） （Ｃ）
7、 （Ｄ） (5)设是锥体介于和之间的部分,则三重积分化为三次积分为[](Ａ) (Ｂ) （Ｃ） （Ｄ）解（１）(C)积分区域，在极坐标系中原式=．(2) (D)．因为被积函数为的偶函数,而正好是的．(3) (A)．====(4) （Ａ）．(5) （Ａ）．先用截面法，再对二重积分利用极坐标化为累次积分．２．计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积．解此立体为一曲顶柱体，它的底是面上的闭区域，顶是曲面（图9-5）．因此所求立体的体积 图9-5注：求类似与第1题中这样的立体体积时，并不一定
8、要画出立体的准确图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程．3．选用适当的坐标计算下列各题：18（1），其中D是由直线所围成的闭区域；（2），其中D是圆环形的闭区域．解（1）选用直角坐标．根据D的边界曲线的情况，采用先对后对的积分次序，于是，．（2）选用极坐标计算．．4．求由平面以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积．解如图9-6=５．设面密度为1的薄片所占区域为D:,求它绕轴的转动惯
