第九章重积分

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1、《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案第九章重积分一、教学目标与基本要求1、教学目标本章从曲顶柱体的体积和平面薄片的质量这两个实际例子引入二重积分的概念，不加以证明地指出二重积分存在的充分条件。对二重积分的性质只加以叙述，而不予证明，将三重积分自然地看成是二重积分的推广。总的精神就是对概念和性质不作分析上的严格要求，而把重点放在讨论二重积分和三重积分的计算上，计算二重积分和三重积分的基本途径是将它们化为二次与三次积分，但在直角坐标系下计算二次与三次积分有时会比较困难，因此需要考虑采用其它的坐标，我们将分别讨论最常见的平面极坐标，空间柱面坐标与球面坐标下重积分的计算方法，此外对二重积分的一般换元法进

2、行简单介绍。最后采用元素法介绍重积分在几何与物理问题中的某些应用。2、基本要求：（1）理解二重积分、三重积分的概念，了解并会应用重积分的性质。（2）熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法（3）会利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分。（4）会用重积分求立体体积、曲面面积、平面薄片和空间立体的质量、重心和转动惯量，平面薄片和空间立体对空间一质点的引力等几何与物理量。二、教学内容及学时分配第一节二重积分的概念与性质2学时第二节二重积分的计算法4学时第三节三重积分4学时第四节重积分的应用2学时三、教学内容重点与难点1、重点：二重积分概念，二重积分和三重积分的计算。2、难点：对二

3、重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序。四、教学内容的深化和拓宽：1、二重积分、三重积分概念的深刻背景2、二重积分、三重积分的换元积分法3、重积分的实际应用五、思考题与习题第一节习题9—1P78：1，2，4，5第二节习题9—2P95-96：1，2，3，4，5，6第九章重积分第5页共5页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案第三节习题9—3P106：1，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15第四节习题9—4P116-117：2，3，6，7，9，11第一节二重积分的概念与性质一、内容要点1、引例例1曲顶柱体的体积例2平面薄片的质量通过两个实际意义不同的例子

4、，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般地抽象出二重积分的定义。2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。3、二重积分的性质1-6，注意将其与定积分性质加以比较。例3关于估值定理的应用例4关于中值定理的应用4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。二、教学要求和注意点理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。第二节二重积分的计算法一、内容要点利用直角坐标计算二重积分1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分：①若D为X—型区域：则②若D为Y—型区域：则③若D既非X—型，又非Y—型区域，则

5、将D划分为若干子区域，使每一个子区域为X—型或Y—型。第九章重积分第5页共5页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。例3关于利用对称性计算二重积分的例子。例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或最小值等函数的例子。利用极坐标计算二重积分1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。3、确定积分上下限的办法。例1

6、将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分例2利用二重积分计算概率积分例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分例4利用极坐标计算二重积分二、教学要求和注意点1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。第四节三重积分一、内容要点1、三重积分的概念，存在性及性质2、三重积分在直角坐标系下的计算①先单积分后二重积分②先二重积分后单积分3、更换积分次序例1将三重积分化为三次积分例2更换积分次序例

7、3先二重积分后单积分4、柱面坐标系下三重积分的计算。5、何时选用柱面坐标——当第九章重积分第5页共5页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案是柱形，锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子等时，常用柱面坐标计算。6、球面坐标系下三重积分的计算。7、何时选用球面坐标——当是球体或其部分，或被积函数含有式子时，常用球面坐标计算。例1化三重积分为柱面坐标系下的三次积分。例2化三重积分为球面坐标系下的三次积分。例3利用三重积分求体积或质量