第九章 重积分(答案)

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1、第九章重积分(一)一．填空题1、设，，定义于，，则>2、设曲顶柱体的顶面是，，侧面是母线平行于轴，准线为的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为。3、根据二重积分的几何意义，=。（其中）4、累次积分交换积分次序后，得到的积分为。　5、已知积分区域，二重积分在直角坐标系下化为累次积分的结果是或。解（1）由二重积分的几何意义，表示球心在圆点，半径为的上半球体的体积，故为。应该填写：。（2）由已知的累次积分，得积分区域为，若变换积分次序，即先积后积，则积分变量的上、下限必须是常量，而积分变量的积分上、下限必须是常量或是的函数，因此积分区域应表为，于是交换后的积分为

2、。应该填写：。（3）由已知的积分区域为可知区域满足联立不等式组，即而解得，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择积分的顺序，若先积后积，则应填，反之应填。应该填写：或11二、单项选择1二重积分可表达为累次积分（A）。　　A.；B.；　　C.；D.　　2、由曲面和及柱面所围的体积是（D）。　　A.；B.；　　C.；D.解1因为积分区域是环域，若选择极坐标系计算积分，令，则代入解得区域，所以A正确；若选择直角坐标系计算积分，要利用积分区间的可加性，或利用区域的对称性，，于是再选择积分的顺序，若先积后积，则积分区域反之积分区域，所以C，D都是错误的。应该选择：A

3、2由曲面和及柱面所围的体积应是以球面被圆柱面和面所截的体积，由二重积分的几何意义知，积分区域为，被积函数为。若选择极坐标系求积分，则积分区域，被积函数为，故体积为若利用积分区域和被积函数的对称性，可以计算第一象限的二重积分，再乘4倍，这时积分区域，所以所求体积为11故D正确。应该选择：D3、设D是曲线围成的闭区域，则=（）　A.；B.；　　C.；D.4、设D：，则=（）A.；B.；　　C.；D.5、设D是由所围成的闭区域，则=（）A.；B.；　　C.；D.6、、设其中下列结论正确的是（C）（A）；（B）；（C）；（D）。7、3、可写为（B）A、B、C、D、8.设则(Ｃ

4、)A.；B.；C.；D..9、设空间区域：，，：，，，，则………………（B）A．B．C．D．11三、计算1、计算二重积分：（1），其中为所围成的平面区域。（2）,其中为抛物线和直线所围成的平面区域。y2=xoyxy=x-2计算直角坐标系的二重积分步骤是：1）画出区域的草图，根据图形的情况确定积分次序；2）联立方程求交点，按积分的顺序确定积分上、下限；3）代入公式计算积分值。解：（1）区域如右图所示。由区域的形状，选择先积后积。联立方程，解得交点为：区域于是==（2）解法一：化为先对后对的累次积分。这时，区域的边界的下部是由两段不同的曲线组成，因此用直线将区域分为和两部

5、分。那么=+=+=0+解法二：化为先对后对的累次积分。这时可统一表示为11因此显然，第二种解法较为简便。可见，无论怎样选择积分次序，其结果是相同的，但是选择的不同会影响计算的过程的繁简，有时的积分次序选择的不同可能造成二重积分不能计算。2、计算下列二重积分：（1），其中为圆周和及直线所围成的在第一象限的区域。（2），其中为圆周所围成的在区域。解把二重积分中的变量从直角坐标系变换为极坐标系，只需把被积函数中的分别换成，面积元换成即可，积分次序一般为先后。(1)采用极坐标系：积分区域如右图所示。y={(于是ox====xoy（2）采用极坐标系：积分区域如右图所示，圆周的极

6、坐标方程为，则积分区域为={(于是====11(3)在极坐标系中，面积元素为。3．利用二重积分性质，估计积分的值，其中是圆形闭区域。解：因为，故，故4．交换积分的积分次序。解：由积分上下限画出积分区域，，故重积分交换积分次序为：。5．交换积分的积分次序。解：画出积分区域图，易知。6．交换二次积分的积分次序。解：积分的上下限作出积分区域的图形，原式。8．计算，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。解：。7．计算，其中是顶点分别为，和的三角形区域。解：原式118．计算，其中是顶点分别为，，和的梯形闭区域。解：原式9．计算二重积分，其中区域由曲线与围成。解：解，得交点，：，

7、原式10．计算二重积分，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域。解：原式1111．计算，其中是圆环域。解：在极坐标系下计算积分的边界曲线的极坐标方程为：，，极点在内，射线与的边界交于两点，，，故原式。12．计算，：，，。解：原式13．计算二重积分，其中：。解：在极坐标下计算原式14．计算。解：需改变积分次序才能完成积分，积分区域如图所示11原式15．求区域的面积。解：区域在极坐标下可表示为故区域的面积为：16．求由，，围成的平面图形的面积。解：设所求面积为，由，得交点，17．交换二次积分次序。11解：原式。事实上，由图即可知积分区域是由三条直线，，所围成