第九章 重积分(答案)

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1、第九章重积分(一)1．填空题(1)设，，定义于，，则>(2)设曲顶柱体的顶面是，，侧面是母线平行于轴，准线为的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为。(3)在极坐标系中，面积元素为。2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1)与，其中积分区域由轴，轴以及直线所围成。解：在区域内，，两边乘以，得，故由性质得：(2)与，其中积分区域是由圆周所围成。解：令两被积函数相等，得或，直线与圆周交点为由图知：位于的半平面内故，因而。3．利用二重积分性质，估计积分的值，其中是圆形闭区域。解：因为，故，故214．交换积分的积分次序。解：由积分

2、上下限画出积分区域，，故重积分交换积分次序为：。5．交换积分的积分次序。解：画出积分区域图，易知。6．交换二次积分的积分次序。解：积分的上下限作出积分区域的图形，原式。7．计算，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。解：。8．计算，其中是顶点分别为，和的三角形区域。解：原式219．计算，其中是顶点分别为，，和的梯形闭区域。解：原式10．计算二重积分，其中区域由曲线与围成。解：解，得交点，：，原式11．计算二重积分，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域。解：原式12．计算，其中是圆环域。解：在极坐标系下计算积分的边界曲线的极坐标方程为：，，

3、极点在内，射线与的边界交于两点，，，故原式。13．计算，：，，。21解：原式14．计算二重积分，其中：。解：在极坐标下计算原式15．计算。解：需改变积分次序才能完成积分，积分区域如图所示原式16．求区域的面积。解：区域在极坐标下可表示为故区域的面积为：2117．求由，，围成的平面图形的面积。解：设所求面积为，由，得交点，18．求椭圆抛物面与平面所围成的立体体积。解：考虑到图形的对称性，只需计算第一卦限部分即可即故19．设平面上半径为的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为，求该圆形薄片的质量。解：建立坐标系

4、如图。则，在处的密度为，取的微元，于是21化为极坐标，有，于是20．由圆，所围成的均匀薄片，面密度为常数，求它关于坐标原点的动惯量。解：由题意知转动惯量(二)1．选择题设空间区域：，，：，，，，则………………（B）A．B．C．D．2．根据二重积分性质，比较下列积分大小：(1)与，其中是三角形区域，三顶点分别为，，。解：经过顶点与的直线方程为，由于区域在该直线下方，所以区域中的点满足，因而满足。类似地又知区域中的点满足，，因而满足，进一步可知，在不等式两边乘以得，因而有。(2)与，其中是矩形闭区域：，。21解：在上有，所以，，因而有。3．

5、估计积分值，其中是由圆周围成。解；以下求出被积函数的最大，最小值，再由二重积分性质估计积分值。在内部，，，因此在区域内设有驻点，故最值一定在边界上达到，作-函数：令，解得驻点为，，比较得，，积分区域的面积，于是。4．估计二重积分的值。解：以下用二重积分的中值定理估计积分值，其本质上与用单调性估值是一致的，因为在闭区域上连续，所以在上至少有一点，使得，显然，而，所以5．交换二次积分次序。解：原式。事实上，由图即可知积分区域是由三条直线，，所围成。6．交换二次积分的次序：。21解：积分区域：，积分区域，：，：，：，则。7．改变积分次序。解：

6、由积分上下限画出积分区域，积分区域是由上半圆周，，抛物线，；与直线三者所围成。原式。8．计算二重积分，其中是由直线，，及双曲线所围成的区域。解：采用先后的次序积分(先后将带来困难)原式9．计算二重积分。解：直接计算有困难，先交换积分次序，21原式10．计算积分。解：先对积分较困难，先对积分可以用凑微分法求得，因此交换次序，原式11．其中是由所确定的闭区域。解：原式12．，其中是由直线，及所围成的闭区域。解：原式2113．计算，其中由抛物线及直线所围成。解：画出的图形，选择先对积分，这时表示为：，从而原式14．计算。解：按原式所给的次序计

7、算积分，需进行二次分部积分，若交换积分次序，求积分较易，将：，重新表示为：，则原式15．计算，是由曲线，，所围成的区域。解：原式2116．计算。解：本题采用极价值计算：原式17．计算，其中为在第一象限的部分。解：采用极坐标计算：原式18．计算。解：利用函数和积分区域的对称性，原式(为积分区域在第一象限的部分)2119．计算。解：由于积分区域是一个正方形，坐标轴将分成四个相等的子区域，被积函数关于这四个子区域是对称的，故原式20．计算解：根据绝对值，将积分区域分成两部分，记区域为，，，：，；：，，则原式21．计算三重积分，其中由三个坐标面

8、与平面所围成。解：先对积分，的变化范围是，可表示为：，，原式2122．计算，其中是平面和三个坐标平面所围成的区域。解：原式。23．计算积分。解：：其中下底为平面，上底面为平面，它在平面上的投影是由，以及所围