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1、第一讲：向量分析与场论（I）向量分析与场论基础《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。一、物理量的分类1、标量：只有大小，没有方向的物理量。例如温度、能量等2、向量：有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。3、张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力1、物理量2、什么是场？：具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如：考虑某一空间的温度时，若空间任意点温度T和该点坐标p(x,y,z)具有函数关系：T=T(x,y,z)，这就构成了一种标量场，这个标量场
2、为温度场；若在某一空间存在流水，当考虑空间处处的流速时，若空间任意点流速V和该点坐标P(x,y,z)具有函数关系：V=V(x,y,z)=Vx(x,y,z)i+Vy(x,y,z)j+Vz(x,y,z)k，其中Vx(x,y,z)、Vy(x,y,z)以及Vz(x,y,z)分别为向量V(x,y,z)在x轴、y轴以及z轴的分量，i、j以及k分别为x轴、y轴以及z轴三个方向的单位向量，（通常又称为方向向量）这就构成了一种向量场（或称为场向量），这个向量场为流速场。本概要只考虑标量场与向量场，张量场不做讨论；本概要的出发点是为后续《电磁场》课程教学服务，故不追求数学上严
3、格性与广延性。在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。例如力可表示为F。二、几个有用的场向量、向量加、减运算1、位移向量：确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描述。该位移向量的模为线段的长度，位移向量的方向由原点指向该点，从原点到空间该点的位移向量又称为该点的矢径，如图一所示。向Y轴xyrOzX轴Z轴图1、矢径向量的图形表示量和它的模分别表示为：r=xi+yj+zk（2.1）
4、r
5、=r=(x2+y2+z2)1/2（2.2）对于向量的叠加，满足平行四边形法则如图2所示r2r1Y轴xyrOzX轴Z轴图2、向量叠加的平行四边形法
6、则r1=x1i+y1j+z1kr2=x2i+y2j+z2kr=r1+r2=(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)k（2.3）对二向量的叠加，在图象上还可以形象地看成三角法则。如图3所示，可先画出处第一个向量，以这个向量的末点做为第二个向量的起点，画出第二个向量，则从第一个向量的起点到第二个向量的末点所引的有向线段即为二个向量r1与r2的叠加结果。问题：判断下述对不对？二个向量进行叠加，合成所得合向量的模一定大于这两个向量模中的任意一个模。同理，向量‘-’运算为‘+’运算的逆运算，例如空间两个点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之
7、间的位移向量为从点1到点2所引的一条有向线段，大小与方向如图4所示，定量计算该两点之间的位移向量时，由三角形法则，可以确定为两矢径r2与r1之差r12=r2–r1=(x2–x1)i+(y2–y1)j+(z2–z1)k（2.4）X轴r1r12Y轴xyr2OzZ轴图4、向量相“减”的三角形表示该向量为r1与r2之差，也即r1加上该向量等于r2例一、空间x轴上取任意两点p1与p2，其距离为d，由这两点向空间任意点p点引出两个位移向量分别为r1与r2，求r1与r2向量差。解法1：由三角形合成法则，容易看出，P1到P2所引向量di与P2到P点所引向量r2与P1到P点
8、所引向量r1相等，即P2点·r11r2··X轴该常向量为r1与r2之差P点P1点r1=r2+di所以r1-r2=di解法2：设空间任意点p点坐标为（x、y、z）、P1点、P2点坐标坐标为分别为（x1、0、0）、（x2、0、0），由题设条件则有x2-x1=d由（2.4）式：r1=(x–x1)i+(y–0)j+(z–0)kr2=(x–x2)i+(y–0)j+(z–0)k所以：r1-r2=[(x–x1)-(x–x2)]i+[(y–0)-(y–0)]j+[(z–0)-(z–0)]k=（x2-x1）i=di2、单位向量：空间任一向量与该向量的模之比，称为该向量的单位
9、向量。单位向量的含义在于：单位向量的模为1，方向与该向量的指向一致。例如：位移向量的单位向量为：r0=r/
10、r
11、=(xi+yj+zk)／(x2+y2+z2)1/2=xi／(x2+y2+z2)1/2+yj／(x2+y2+z2)1/2+zk／(x2+y2+z2)1/2由单位向量的概念，（2.1）式矢径向量又可表示为：r=xi+yj+zk=
12、r
13、r0=rr0（2.5）例题2：空间一点P（1，2，3），由该点到y轴引垂线，求1）垂足到P点的位移；2）该位移的方向向量。解：解题分析：本题的解题关键在于，找出垂足点的坐标。既然是点到Y轴做垂线，该位移一定垂直于Y轴，也
14、就意味着位移处于过垂足点且平行于X-Z平面的平面上，如此，根据坐标
