矢量分析与场论第一讲

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1、矢量分析与场论教材《矢量分析与场论》谢树艺高等教育出版社第三版第一章矢量分析§1、矢性函数矢性函数在数学里称作向量值函数，他是通常函数概念的推广定义：映射f：RnD→Rm,x→y=f(x)若设：f(x)=(f(x)1,f(x)2,…f(x)m)我们看到向量值函数无非是若干个多元函数一起考虑而已，一点都不神秘n=m=1通常的函数（一元函数）n≧2,m=1通常的多元函数如代数中的内积，外积，行列式n=1,m=2平面曲线n=1,m=3空间曲线n=m=2平面的坐标变换如xy=1为何是双曲线？n=m=3空间的坐标变换n=2,m=3空间曲面所以向量值函数这个概念包含有大量的

2、信息，把到目前为止学过的大部分内容都包括进去了，我们也说上面的向量值函数是D上的一个场特殊情形或写成:x=Rcosωt,y=Rsinωt,z=at螺线方程摆线方程或写成：x=R(ωt-sinωt),y=R(1-cosωt)极限的定义若为D的一个聚点，Rm为常数向量，若当时称c为f当x趋近与a时的极限记作设则上面的定义等价于连续的定义若则f在a连续由定义推知，f连续指定的每个分量都连续下列极限等式成立其中u为数量函数，f，g为向量函数§2、向量函数的导数与微分设有向量函数y=f(x),xD,若有m×n常数矩阵A使f(x)=f(a)+A(x-a)+O(

3、x-a

4、)其

5、中O(

6、n-a

7、)={O1(

8、x-a

9、),…Om(

10、x-a

11、)}每个Oi(

12、x-a

13、)都是

14、x-a

15、当x→a时的无穷小，称f在a点可微，A为f在a处的导数，通常称为jacobian矩阵称df=Adx为f在a处的微分链式法则：设有两个向量值函数则特别的，如g=f-1，则易算得D(id)=E固有D(f-1)=(Df)-1例题1计算二重积分其中区域D由y=x,y=2x,xy=1,xy=3所围解：则变换的Jacobi行列式所以上面的积分变换中自然地出现了向量函数由假设得例题2直角坐标与极坐标之间有熟知的关系这表示有一个向量值函数容易求得反函数但如果利用前面的反函数的求导公

16、式，计算更加简单：