第1章 矢量分析与场论

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1、第1章矢量分析与场论1.1矢量及其代数运算1.2圆柱坐标系与球坐标系1.3矢量场1.4标量场1.5亥姆霍兹定理习题1.1矢量及其代数运算1.1.1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以表示成A=aA（1-1-1）其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A，其大小等于

2、1。图1-1直角坐标系中一点的投影一个大小为零的矢量称为空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（UnitVector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向。空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(PositionVector)，它在直角坐标系中表示为r=axX+ayY+azZ（1-1-2）式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。任一矢量A

3、在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、az可以将矢量A表示成：A=axAx+ayAy+azAz（1-1-3）矢量A的大小为A：A=(A2x+A2y+A2z)1/2（1-1-4）1.1.2矢量的代数运算1.矢量的加法和减法任意两个矢量A与B相加等于两个矢量对应分量相加，它们的和仍然为矢量，即C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)(1-1-5)任意两个矢量A与B的差等于将其中的一个矢量变号后再相加，即D=A

4、-B=A+(-B)=ax(Ax-Bx)+ay(Ay-By)+az(Az-Bz)(1-1-6)2.矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积。1）标量积任意两个矢量A与B的标量积(ScalarProduct)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，记为A·B=ABcosθ(1-1-7)图1-2标量积的图示例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：ax·ay=ay·az=ax·az=0ax·ax=ay·ay=az·az=1任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表示为A·B=AxBx+AyBy+AzBz(1-1

5、-9)标量积服从交换律和分配律，即A·B=B·A(1-1-10)A·(B+C)=A·B+A·C(1-1-11)(1-1-8)2）矢量积任意两个矢量A与B的矢量积（VectorProduct）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1-3所示，记为C=A×B=anABsinθ(1-1-12)an=aA×aB（右手螺旋）图1-3矢量积的图示及右手螺旋(a)矢量积的图示；(b)右手螺旋矢量积又称为叉积(CrossProduct)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢

6、量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即A×B=-B×A(1-1-13)A×(B+C)=A×B+A×C(1-1-14)直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：ax×ay=az,ay×az=ax,az×ax=ayax×ax=ay×ay=az×az=0在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为(1-1-15)=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)(1-1-16)矢量的其他运算详见附录一。1.2圆柱坐标系和球坐标系1.2.1圆柱坐标系空间任一

7、点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量(ρ,φ,z)来表示，如图1-4所示。其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是从+x轴到位置矢量OP在xy面上的投影之间的夹角，z是OP在z轴上的投影。由图1-4可以看出，圆柱坐标与直角坐标之间的关系为x=ρcosφy=ρsinφz=z（1-2-1）如同直角坐标系一样，圆柱坐标系也具有三个相互垂直的坐标面，如图1-5所示。图1-4圆柱坐标系一点的投影图1-5圆柱坐标系三个互相垂直的坐标坐标面（1-2-2）表示一个以z轴作轴线的半径为ρ的圆柱面，ρ的变化范围为0≤ρ<∞。坐标面（1-2-3）

8、表示一个以z轴为界的半平面，φ的变化范围为0≤φ≤2π。坐标面z=常数（1-2-4）表示一个平行于xy平面的平面。z的变化范围为-∞