第02讲矢量分析与场论.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途第02讲本节内容1，方向导数2，梯度3，散度4，旋度5，正交坐标系个人收集整理勿做商业用途第一章矢量分析与场论（2)1，数量场的方向导数1。1方向导数由上节可知，数量场的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况.为此,引入方向导数的概念.个人收集整理勿做商业用途M0ρlM设是数量场中的一点，从出发沿某一方向引一条射线,在上的邻近取一动点M，，若当时（即）：

2、的极限存在,则称此极限为函数在点处沿方向的方向导数。记为，即:个人收集整理勿做商业用途可见,方向导数是函数在点处沿方向对距离的变化率。当时,表示在处u沿l方向是增加的，反之就是减小的。在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式:［定理］若函数在点处可微，，，为方向的方向余弦。则u在处沿方向的方向导数必存在，且:个人收集整理勿做商业用途证：M坐标为∵u在点可微，故：是比高阶的无穷小。两边除以得两边取时的极限得个人收集整理勿做商业用途例求数量场在点处沿方向的方向导数。解:方向的方向余弦为：，,，，,,∴个人收集整理勿做商业用途2，

3、梯度2。1．概念方向导数为在给定点处沿某方向变化率.但从场中一点出发无穷多方向,通常不必要更不可能研究所有方向的变化率。人们往往只关心沿何方向变化率最大，此变化率为多少？下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题.∵、、为方向的方向余弦∴方向的单位矢量可表示为：若把,,看成是某矢量的三分量。即：个人收集整理勿做商业用途则：在给定点处为一常矢量。由上式,在方向上的投影恰等于函数u在该方向上的方向导数。显然,当与的方向一致时，即时，方向导数取得最大值,或说沿方向的方向导数最大，此最大值为:这样即找到了一个矢量，其方向为变化率最大,且其模即为

4、最大变化率,该矢量称函数在给定点处的梯度.个人收集整理勿做商业用途在数量场中的一点M处，其方向为函数在M点处变化率最大的方向，其模恰好等于此最大变化率的矢量,称为在M点处的梯度,记为:需指出，梯度的定义与坐标系无关，它由数量场的分布所决定，在不同的坐标系中只是表达形式不同。前面已得出其在直系中的表达式：从此公式可以看出,梯度在形式上可以视为矢量微分算子与函数u的乘积，算子称为哈密尔顿算子。所以梯度又常表示为。个人收集整理勿做商业用途2．2．梯度的性质1°梯度与方向导数的关系：在某点M处沿任一方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的

5、投影。2°梯度与等值面的关系:场中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向增大一方.这是因为点M处的三个分量，，恰为过M点的等值面的法线方向数，即梯度在其法线方向上，故垂直于此等值面。又因为u沿方向的方向导数即沿方向是增加的，或者说指向增大一方.个人收集整理勿做商业用途等值面和方向导数均与梯度存在一种比较理想的关系，这使得梯度成为研究数量场的一个极为重要的矢量。个人收集整理勿做商业用途例试证明点的矢径的模的梯度。证：,，∴个人收集整理勿做商业用途例求在处沿方向的.解法1：直接由公式（略）解法2:作为梯度在上投影，，在处，，,∴

6、M处个人收集整理勿做商业用途2.3．梯度的运算法则1°（c为常数）2°（c为常数）3°4°5°6°个人收集整理勿做商业用途例已知位于原点处的点电荷q在其周围空间任一点处产生的电位为（），且知电场强度，求.解：由法则6°:个人收集整理勿做商业用途3矢量场的通量与散度3。1、通量MSds为区分曲面的两侧，常规定其一侧为曲面的正侧,另一面为其负侧。这种取定了正侧的曲面称为有向曲面。对于封闭曲面，习惯上总是取其外侧为正侧.在研究实际问题时，常规定有向曲面的法向矢量恒指向研究问题时所取的一侧。个人收集整理勿做商业用途下面通过例子导出通量定义。

7、设s为流速场中一有向曲面，考虑单位时间流体向正侧穿过s的流量Q。（指向s正侧）在s上取ds，.因ds甚小，可认为和在ds上均不变,分别与M处和相同。流体穿过ds的流量为：其中为M处单位法向矢量则单位时间内沿正向穿过s的总通量为：数学上把这种形式的曲面积分称为通量.个人收集整理勿做商业用途设为一矢量场，沿其中有向曲面s正(负）侧的曲面积分：称为矢量场向s正（负）侧穿过曲面s的通量。如磁感应强度为的磁场中，穿过曲面s的磁通量为：若某一矢量场是由两个以上的矢量场迭加而成，则总场穿过某曲面的通量等于每个矢量场穿过该曲面的通量之和。即若则：个

8、人收集整理勿做商业用途在直角坐标系中，若可表示为:而其中，，是的方向余弦∴个人收集整理勿做商业用途xyzs1s20H例场，s：圆锥面与平面z=H所围封闭面,求从s内穿出的。解:上任一点个人收集整理勿做商业用途xyz0若s为上半球面,(