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1、第二讲：向量分析与场论（II）四、标量场的梯度五、向量场的散度六、向量场的旋度3、标量函数场的梯度公式：若某一标量场的函数关系已经确定，为j=j(x,y,z)，那么如何确定标量场在域中任意点的梯度？（假设该点坐标为P(x,y,z)）在P(x,y,z)点附近任意点P(x’,y’,z’)的标量场为j(x’,y’,z’)，则两点标量场值差可由泰勒展开为：Dj=j(x¢,y¢,z¢)-j(x,y,z)¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)=(x¢-x)+(y¢-y)+(z¢-z)¶x¶y¶z为简明起见，令Dx=x’-x、Dy=y’-y、Dz=z’-z则上式又可以写为Dj=j(x¢,y¢
2、,z¢)-j(x,y,z)¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)=Dx+Dy+Dz¶x¶y¶z¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)=(e+e+e)×(Dxe+Dye+Dze)xyzxyz¶x¶y¶z¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)=(e+e+e)×(Dl)(2.1)xyz¶x¶y¶z这里，Dl=Dxe+Dye+Dze为P(x’,y’,z’)与P(x,y,z)两点之xyz间的位移，定义一个向量算子‘Ñ’¶¶¶Ñ=e+e+e(2.2)xyz¶x¶y¶zÑ’对V(x,y,z)的作用结果为一向量场，因为该向量也是空间的函
3、数¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)¶j(x,y,z)Ñj(x,y,z)=e+e+e(2.3)xyz¶x¶y¶z对于空间给定的点来说，只要标量函数关系确定，那么该向量是确定的。标量场j(x,y,z)在两点P(x’,y’,z’)与P(x,y,z)之间的变化量为Dj=Ñj(x,y,z)×Dl(2.4)上式表示标量场在空间附近两点之间的变化等于以（2.3）所表示的向量与空间这两点之间位移Dl的点积。以Dl、l分别表示微量位移向量的大小和单位向量，将标量场的变化小量与微量位移大小相除Dj(x,y,z)=Ñj(x,y,z)×l(2.5)DlDj(x,y,z)=Ñj(x,y,z)×l(2.
4、5)Dl上式表示空间标量场V(x,y,z)沿某一方向对空间距离的变化率等于向量Ñj(x,y,z)与该方向的单位向量的点积。那么这里有一个问题：由空间一点可以向外引无数个方向。那么标量场在空间一点的变化率在哪个方向上变化最大？为回答上述问题，我们考察（2.5）式，只有当移动微小位移的方向与标量场的算子向量Ñj(x,y,z)一致时，两个向量的夹角为0，变化率达到最大值，可见Ñj(x,y,z)就是我们上述所定义的标量场j(x,y,z)在P(x,y,z)处的梯度。函数场梯度的定义：在标量场中，空间某点P(x,y,z)处的梯度为算子‘Ñ’对标量场作用的结果，即式（2.2）即为梯度向量的定义式¶¶¶
5、Ñ=e+e+e(2.2)xyz¶x¶y¶z例2-1、已知点电荷q在空间所产生的电场在q为r处电位大小为:q1j(r)=1）、以q所在的位置为坐标原点建立直角坐标系，4per0表达出电位场的空间函数关系，进一步计算出电位的梯度；2）若q所在的位置不是坐标原点，为P’(x¢,y¢,z¢),重新计算出电位的梯度解：1）由于q处于坐标原点，空间任意一点P(x,y,z)到q点的距离即为该点的矢径大小222r=x+y+z,电位为P(x,y,z)q1j=4πεx2y2z2电位的梯度表达为r0++¶¶¶q1qÑj=(e+e+e)xyz¶x¶y¶z4πεx2+y2+z2图2-1电荷处于坐标原点0q
6、xex+yey+zezqrq1=-=-=-r3324πε4πεr4πεr0222200(x+y+z)2）由于q处于点P¢(x¢,y¢,z¢)，空间任意一点P(x,y,z)到q点的距离大小为222r=(x-x¢)+(y-y¢)+(z-z¢)P(x’,y’,z’)r-r¢qP(x,y,z)r¢¶¶¶q1Ñj=(e+e+e)rxyz¶x¶y¶z4πε(x-x¢)2+(y-y¢)2+(z-z¢)2•0电荷处于空间（x¢,y¢,z¢）q(x-x¢)ex+(y-y¢)ey+(z-z¢)ezqr-r¢=-=-334πε022224πε0r-r¢[(x-x¢)+(y-y¢)+(z-z¢)
7、]评注：1）什么是等位面方程？曲面方程可以利用上述的标量场进行说明。对于标量场j=j(x,y,z)，把空间那些具有相同场值的点连起来构成的面称为等位面，假设等位面值为C，则有等位面方1程：j(x,y,z)=C1在例2-1中所对应的标量电位场对应的等位面是球面状。2）从数学的角度如何理解标量场的梯度与标量场等位面的关系？标量场j(x,y,x)分布看做是j=CC一族等位面构成，1、2、……那么E的方向
