第7讲：数学思想方法之整体思想探讨.doc

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第7讲：数学思想方法之整体思想探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的

2、整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面四方面探讨整体思想的应用：（1）整体运算；（2）整体代换；（3）整体设元；（4）整体变形、补形。一、整体运算：整体运算是着眼结构的整体性，根据问题的条件进行运算（包括整体配方、求导等），达到简化解题思路，确定解题的突破口或者总体思路。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例

3、1.（2012年全国课标卷理5分）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为【】【答案】。【考点】反函数的性质，导数的应用。【解析】∵函数与函数互为反函数，∴它们的图象关于对称。∴函数上的点到直线的距离为设函数，则，∴。∴。∴由图象关于对称得：最小值为。故选。例2.（2012年全国课标卷文5分）当时，，则a的取值范围是【】（A）(0，)（B）(，1)（C）(1，)（D）(，2)【答案】B。【考点】指数函数和对数函数的性质。【解析】设,作图。∵当时，,∴在时,的图象在的图象上方。　　　根据对数函数的性质，。∴单调递减。∴由时

4、，得，解得。∴要使时，，必须。∴a的取值范围是(，1)。故选B。例3.（2012年江西省文5分）已知若a=f（lg5），则【】A.　　B.　　C.　　D.【答案】C。【考点】二倍角的余弦，诱导公式，对数的运算性质。【解析】应用二倍角的余弦公式进行降幂处理：。　　　　∴，。∴。故选C。例4.（2012年江西省理5分）设数列都是等差数列，若，，则▲。【答案】35。【考点】等差中项的性质，整体代换的数学思想。【解析】∵数列都是等差数列，∴数列也是等差数列。∴由等差中项的性质，得，即，解得。例5.（2012年江苏省16分）已

5、知各项均为正数的两个数列和满足：，，（1）设，，求证：数列是等差数列；（2）设，，且是等比数列，求和的值．【答案】解：（1）∵，∴。∴。∴。∴数列是以1为公差的等差数列。（2）∵，∴。∴。（﹡）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。∴综上所述，。∴，∴。又∵，∴是公比是的等比数列。若，则，于是。又由即，得。∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。∴。∴。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。（2

6、）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。例6.（2012年全国大纲卷文12分）已知数列{}中，=1，前n项和．（1）求，（2）求{}的通项公式。【答案】解：（1）由=1，得，解得。同理，解得。（2）∵，∴。∴，即。∴。∴，即。由=1，得。∴{}的通项公式为。【考点】数列。【解析】（1）由已知条件，可直接求出。（2）由求出，两式相减，求出。从而各项相乘即可求得{}的通项公式。例7.（2012年天津市文13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比

7、数列,且=，，.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；(Ⅱ)记，，证明。【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。∴。(Ⅱ)证明：由（1）得，①；∴②；由②－①得，∴。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例8.（2012年浙江省文14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足a

8、n=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.【答案】解：（1）由Sn=，得当n=1时，；当n2时，，n∈N﹡。由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡。（2）由（1）知，n∈N﹡，∴，。∴。∴，n∈N﹡。【考点】等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式，对数的定义。【解析】（1）由Sn=