第3讲：数学思想方法之建模思想探讨

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第3讲：数学思想方法之建模思想探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，也是体会和理解数学各部分之间关系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活（具体情境）中抽象出数学问题，或一类数学问题转换为另一类问题，用数学符号建立方程、不等式、函数、数列、图象等表

2、示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。建立数学模型的思路如下图：其中，一类数学问题转换为另一类问题的建模是化归思想的体现，我们将在《数学思想方法之化归思想探讨》中阐述，本讲对从现实生活（具体情境）中抽象出数学问题的建模进行探讨。建立数学模型的一般程序为（1）读阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这是基础。（2）建将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键。（3）解求解数学模型，得到数学结论。求解时要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。（4）答将数学结论还原给

3、实际问题的结果。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面五方面进行数学思想方法之建模思想的探讨：（1）“方程模型”的建立；（2）“不等式模型”和“线性规划模型”的建立；（3）“函数模型”的建立；（4）“图形模型”的建立；（5）“定积分模型”的建立。一、“方程模型”的建立：对实际问题中的等量关系问题常需通过建立“方程模型”解决。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1：（2012年辽宁省理5分）已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为▲。【答案】。【考点】组合体的线线，线面，面面位置关系，转化思想的

4、应用。【解析】∵在正三棱锥ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点O，且EP⊥平面ABC，EP与平面ABC上的高相交于点F。∴球O到截面ABC的距离OF为球的半径OP减去正三棱锥ABC在面ABC上的高FP。∵球的半径为，设正方体的棱长为，则由勾股定理得。解得正方体的棱长=2，每个面的对角线长。∴截面ABC的高为，。∴在Rt△BFP中，由勾股定理得，正三棱锥ABC在面ABC上的高。∴所以球心到截面ABC的距离为。例2：（2012年江西省理5分）样本（）的

5、平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则的大小关系为【】A．B．C．D．不能确定【答案】A。【考点】作差法比较大小以及整体思想，统计中的平均数。【解析】由统计学知识，可得,，∴。∴。∴。∵，∴。∴，即。故选A。例3：（2012年湖南省理12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次性购物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）3025

6、10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#]（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）[中%#国教*育^出版网~]【答案】解：（Ⅰ）由已知，得解得。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得。∴的分布为X11.522.53PX的数学期望为。（Ⅱ

7、）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则。由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以，。故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为。【考点】分布列及数学期望的计算，概率。【解析】（Ⅰ）根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望。（Ⅱ）通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率。例