数学思想方法第2讲

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1、第2讲分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答•实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.I热点聚焦丨题塑突破I研热点析角度「热点一分类讨论思想的应用应用1由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【

2、例1】⑴若函数沧)=%>0,dHl)在［一1,2］上的最大值为4,最小值为加,且函数g⑴=(1一4加)&■在［0,+°°)上是增函数，贝I」d=・(2)在等比数列｛為｝屮，已知如9-2解析⑴若Q>1,有d~=4,a~x=m.解得q=2,at?=2«此时g(x)=—心为减函数,不合题意.若Osvl,有a~l=49a2=m,故Q=N，加=肓，检验知符合题意.39(2)当g=l时,。1=。2=。3=刁S3=3t7i=2»显然成立.39当gH1时，由如=㊁，S3—2?dl『=刁①•V••9a(l+g+g~)=㊁.②由①②，得1+尹=3,即2『一q—1=0,所以q=—*或g=i(

3、舍去)•当q=-g时，口1=学=6,、3、综上可知，<21=2或di=6・答案(1)

4、⑵多或6探究提高1•指数函数、对数函数的单调性取决于底数a,因此，当底数。的大小不确定时，应分0<67<1,Q>1两种情况讨论.2.利用等比数列的前农项和公式时，若公比g的大小不确定，应分q=1和gHl两种情况进行讨论，这是由等比数列的前〃项和公式决定的.【训练1】(1)(2017-长沙一中质检)已知S”为数列｛给｝的前刃项和且Sn=2an-29则s5-s4的值为()A.8B」0C」6D.32fsin(n%2),—IwO,(2)函数几£)=仁_

5、若Al)+A^)=2,则。的所有可能取值的

6、le,jvMO.集合是.解析⑴当”=1时，di=S]=2d

7、—2,解得ci=2.因为S/b=2ctn—2,当“22时，Sn-1=1an-1—2,两式相减得，an=2an—2。"],即cin=2an-,则数列｛血｝为首项为2,公比为2的等比数列，则S,—S4=d5=2‘=32・(2)AD=e°=l,即貳1)=1.由夬1)+张)=2,得张)=]・当oNO时,皿)=1=『一打所以a—.当一l

8、・答案(l)D(2y—¥，「应用2由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】(1)(2017-昆明一中质检)已知双曲线的离心率为爭，则其渐近线方程为•(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为Fi，F2,若曲线C上存在点P满足:IFiEI:

9、PFd=4：3：2,则曲线C的离心率等于・解析(1)由于£令洋，c2a2-~h24Mr??则d=3b,若双曲线焦点在兀轴上，渐近线方程y=±^x.若双曲线焦点在y轴上，渐近线方程y=±^3x.(2)不妨设PF}=4t,F}F2=3t,PF2=2t,其中/HO.若该曲线为椭圆，则有PF}+PF2=6t=2a,时d=3/=2c,

10、e令舊爭*；若该曲线为双曲线，则旬PFi

11、—

12、“2l=2r=2d,

13、F1F2

14、=3r=2c,c2c3t3a~2a~2t~29答案(l)y=&§x,或y=±^~x(2)*或

15、探究提高1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2•相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.2?【训练2】设尺，尸2为椭圆专+亍T的两个焦点，P为椭圆上一点•已知P，F1，尸2是一个直角三角形的三个顶点，且

16、"

17、

18、>

19、“2

20、,则餡的值为.解析若Z^2^=90°•则PF1

21、2=

22、PF2

23、2+

24、F1F2

25、2,又因

26、为0刊+0尸2

27、=6,

28、尺础=2筋，解得

29、PFi

30、=j~,

31、PF2

32、=3，所以若ZFfF2=90°,则F,F^=PF^+PF^y所以

33、PFiF+(6—

34、PFi

35、)2=20,所以^

36、=4,

37、PF2

38、=2,所以幣=2.综上知，错=£或2・答案扌或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3](2017-郑州质检)已知函数fix)=(x+l)lnx~a(x~1).⑴当a=4时，求曲线y=fix)在(1,几1))处的切线方程；(2)若当用(1,+8)时，/U)>0,求a的取值范围.解(l^)=U+l)lnx-^z(x-l)的定义域为