第4讲：数学思想方法之归纳思想探讨

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第4讲：数学思想方法之归纳思想探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、

2、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面五方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数（式）的排列或运算规律归纳；（2）根据图形的排列或运算规律归纳；（3）根据寻找的循环规律归纳；（4）根据一、二阶递推规律归纳；（5）数学归纳法的应用。一、根据数（式）的排列或运算规律归纳：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年江西省

3、理5分）观察下列各式：则【】A．28B．76C．123D．199【答案】C。【考点】归纳推理的思想方法。【解析】观察各等式的右边,它们分别为1，3，4，7，11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,…，故。故选C。例2.（2012年陕西省理5分）观察下列不等式【版权归锦元数学工作室，不得转载】，……照此规律，第五个不等式为▲.【答案】。【考点】归纳规律。【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一

4、个数的分母是不等式序号n+1的平方；右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式：。令n=5，即可得出第五个不等式，即。例3.（2012年湖北省理5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则（Ⅰ）4位回文数有▲个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有▲个。【答案】（Ⅰ）90；（Ⅱ）。【考点】计数

5、原理的应用。【解析】（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位回文数有9×10=90个。（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法，故2n+1（n∈N+）位回文数有个。例4.（2012年福建省理13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin13°c

6、os17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.（I）请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】解：（I）选择(2)式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin3

7、0°＝1－＝。（II）三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝。证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝。【考点】同角函数关系式、倍角公式和差的余弦公式的应用。【解析】（I）选择(2)式，应用同角函数关系式和倍角公式即可得出结果。

8、（II）三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝。应用差的余弦公式和同角函数关系式即可证明。二、根据图形的排列或运算规律归纳：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年全国大纲卷理5分）正方形的边长为1，点在边上，点在边上，，动点从