第3届希望杯数学邀请赛初二第2试试题答案 word版下载.doc

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1、希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题答案与提示一、选择题提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC

2、．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5

3、x-1

4、+6=0．即

5、x-1

6、2-5

7、x-1

8、+6=0．∴

9、x-1

10、=2，或

11、x-1

12、=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．10．原方

13、程为

14、3x

15、=ax+1．(1)若a=3，则

16、3x

17、=3x+1．当x≥0时，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．另解：（图象解法）设y1=

18、3x

19、，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=

20、3x

21、的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．二、填空题提示：1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21

22、．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴

23、EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1

24、=11．获奖人数共有14+11=25（人）．三、解答题1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短．记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇B＇CB＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0

25、．所以路线OABCO的距离最短．因此x与-y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0＜a＜1，0＜a2＜1．